[1]
Ἡ γεωμετρία αὐτὴ καθ' ἑαυτὴν εἰ κρίνοιτο, εἰς οὐδὲν ἂν νομισθείη συντελεῖν τῷ βίῳ. ὃν τρόπον καὶ τὰ τεκτονικά [και], εἰ τύχοι, ὄργανα αὐτὰ καθ' ἑαυτὰ σκοπούμενα ἄχρηστ' ἂν δόξειεν εἶναι, τὴν δὲ δι' αὐτῶν γινομένην σκοπῶν χρῆσιν οὐ μικρὰν οὐδὲ τὴν τυχοῦσαν εὑρήσεις, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ γεωμετρία τῶν μὲν δι' αὐτῆς περαιουμένων γυμνωθεῖσα μάταιος εὑρίσκεται, εἰς δὲ τὴν πρὸς ἀστρονομίαν εὐεργεσίαν αὐτῆς ἀφορῶντες ὑπερθαυμάζομεν τὸ πρᾶγμα· οἷον γὰρ ὄμμα τῆς ἀστρονομίας τυγχάνει. ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀστρονομία περὶ μεγεθῶν τε καὶ ἀριθμῶν καὶ ἀναλογιῶν διαλαμβάνει· τό τε γὰρ μέγεθος ἡλίου καὶ σελήνης πολυπραγμονεῖ καὶ τὴν τῶν ἄστρων ποσότητα καὶ τὴν πρὸς ἄλληλα τούτων ἀναλογίαν· ἐν δὲ τοῖς ἐπιπέδοις περὶ δύο διαστάσεων ἡμᾶς διδάσκει, πλάτους τε καὶ μήκους, ὧν μὴ γνωσθεισῶν οὐκ ἄν ποτε συσταίη τὰ στερεά, ἅτινα ἐκ τριῶν διαστάσεων τυγχάνει ὄντα, πλάτους τε καὶ μήκους καὶ βάθους, γνῶσιν ἡμῖν πορίζουσα τοῦ μεγέθους τὰ μέγιστα συντελεῖ πρὸς ἀστρονομίαν· ἔτι μὴν καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ γνῶσις ἡ ἐν τῷ ἑβδόμῳ καὶ ὀγδόῳ καὶ ἐνάτῳ εἰρημένη.
Τὰς ἀρχὰς τῆς γεωμετρίας, ὅθεν τυγχάνουσιν, ἔστιν ἐκ φιλοσοφίας δεῖξαι. ἵνα μὴ ἐξαγώνιοι γενώμεθα, εὔλογόν ἐστι τὸν ὅρον αὐτῆς εἰπεῖν. ἔστιν οὖν ἡ γεωμετρία ἐπιστήμη σχημάτων καὶ μεγεθῶν καὶ τῶν περὶ ταῦτα παθῶν, ὁ δὲ σκοπὸς αὐτῆς περὶ τούτων διαλαμβάνειν, ὁ δὲ τρόπος τῆς διδασκαλίας ἐστὶ συνθετικός· ἀρξάμενος γὰρ ἀπὸ σημείου ἀδιαστάτου ὄντος διὰ μέσης γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καταντᾷ ἐπὶ τὸ στερεόν. τὸ δὲ χρήσιμον αὐτῆς ἄντικρυς εἰς φιλοσοφίαν συντελεῖ· τοῦτο γὰρ καὶ τῷ θείῳ Πλάτωνι δοκεῖ, ἔνθα φησί· ταῦτα τὰ μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ ἰτέον. ἐπιγέγραπται δὲ στοιχεῖα, διότι ὁ μὴ διὰ τούτων πρότερον ἀχθεὶς οὐχ οἷός τέ ἐστι συνιέναι τι τῶν γεωμετρικῶν θεωρημάτων. ἡ δὲ γεωμετρία ἐξ ἀφαιρέσεως τὴν διδασκαλίαν ἐποιήσατο· λαβοῦσα γὰρ φυσικὸν σῶμα, ὅ ἐστι τριχῆ διαστατὸν μετὰ ἀντιτυπίας, καὶ χωρίσασα τούτου τὴν ἀντιτυπίαν ἐποιήσατο τὸ μαθηματικὸν σῶμα, ὅ ἐστι στερεόν, καὶ ἀφαιροῦσα κατήντησεν ἐπὶ τὸ σημεῖον.
[2]
[1] Καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, οἱ πλεῖστοι τοῖς περὶ τὴν γῆν μέτροις καὶ διανομαῖς ἀπησχολοῦντο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ δὲ τῆς μετρήσεως ἐπίνοια ηὕρηται παρ' Αἰγυπτίοις· διὰ γὰρ τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν πολλὰ χωρία φανερὰ ὄντα τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐγίγνετο, πολλὰ δὲ καὶ μετὰ τὴν ἀπόβασιν, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρίνειν τὰ ἴδια· διὰ τοῦτο ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν, ποτὲ μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ποτὲ δὲ καλάμῳ, ποτὲ δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. ἀναγκαίας τοίνυν τῆς μετρήσεως οὔσης εἰς πάντα ἄνθρωπον φιλομαθῆ περιῆλθεν ἡ χρεία.
[3]
[1] Ἡ ἐπίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν ἔκ τε κλιμάτων καὶ σκοπέλων καὶ γραμμῶν καὶ γωνιῶν, ἐπιδέχεται δὲ γένη καὶ εἴδη καὶ θεωρήματα.
[2] Κλίματα μὲν οὖν ἐστι δ· ἀνατολή, δύσις, ἄρκτος, μεσημβρία.
[3] Σκόπελος δέ ἐστι πᾶν τὸ λαμβανόμενον σημεῖον.
[4] Γραμμαὶ δέ εἰσι δέκα· εὐθεῖα, παράλληλος, βάσις, κορυφή, σκέλη, διαγώνιος, κάθετος ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη, ὑποτείνουσα, περίμετρος, διάμετρος.
[5] Εὐθεῖα μὲν οὖν ἐστι γραμμὴ ἡ κατ' εὐθεῖαν τείνουσα.
[6] Παράλληλος δὲ ἑτέρα εὐθεῖα προσπαρακειμένη τῇ εὐθείᾳ ἔχουσα τὰ ἐν τοῖς ἄκροις διαστήματα πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀλλήλοις ἴσα.
[7] Βάσις δὲ εὐθεῖα γραμμὴ τεθεῖσα ἐπιδεχομένη ἑτέραν εὐθεῖαν, ἐάν τε ᾖ αὐτῇ κατὰ κορυφὴν τεθειμένη ἢ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἢ κατὰ περίμετρον.
[8] Κορυφὴ δὲ ἡ ἐπὶ τῇ βάσει ἐπιτιθεμένη εὐθεῖα.
[9] Σκέλη δὲ αἱ ἀπὸ τῶν ἄκρων τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ ἄκρα τῆς βάσεως καθιέμεναι εὐθεῖαι.
[10] Διαγώνιος δὲ ἡ ἐν τοῖς τετραγώνοις καὶ τοῖς τοιούτοις ἀπὸ γωνίας ἐπὶ γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα.
[11] Κάθετος δὲ ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη [ἢ καὶ κέντρον] ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν καθιεμένη εὐθεῖα ἔχουσα τὰς περὶ αὑτὴν δύο γωνίας ἀλλήλαις ἴσας.
[12] Ὑποτείνουσα δὲ ἡ ὑπὸ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τείνουσα εὐθεῖα.
[13] Περίμετρος δὲ ἡ ἐκ κέντρου δοθέντος καὶ διαστήματος περιφερομένη γραμμὴ ἔχουσα τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ' αὐτὴν ἀγομένας εὐθείας ἴσας.
[14] Διάμετρος δὲ εὐθεῖα τέμνουσα διὰ τοῦ κέντρου τὴν περίμετρον εἰς δύο τμήματα.
[15] Γωνίαι δέ εἰσι τρεῖς· ὀρθή, ὀξεῖα, ἀμβλεῖα.
[16] Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστιν, ὅταν εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ· τότε γάρ εἰσιν αἱ δύο ὀρθαί.
[17] Ὅταν δὲ ἡ μὲν μείζων, ἡ δὲ ἥττων, τότε ἡ μὲν μείζων, τουτέστιν πλατυτέρα, ἐστὶν ἀμβλεῖα, ἡ δὲ ἥττων, τουτέστιν στενοτέρα, ὀξεῖα.
[18] Γένη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστιν τρία· εὐθυμετρικόν, ἐμβαδομετρικόν, στερεομετρικόν.
[19] Εὐθυμετρικὸν μὲν οὖν ἐστιν πᾶν τὸ κατ' εὐθὺ μετρούμενον, ὃ μόνον μῆκος ἔχει, ὃ δὴ καὶ ἀρχὴ καὶ ἀριθμὸς καλεῖται.
[20] Ἐμβαδομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος, ἐξ οὗ καὶ τὸ ἐμβαδὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ δύναμις καλεῖται.
[21] Στερεομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος καὶ πάχος, ἐξ οὗ καὶ πᾶν τὸ στερεὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ κύβος καλεῖται.
[22] Εἴδη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστι πέντε· τετράγωνα, τρίγωνα, ῥόμβοι, τραπέζια, κύκλοι.
[23] Καὶ θεωρήματά ἐστιν ιη· τετραγώνων θεωρήματα β, τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον. τριγώνων δὲ θεωρήματα ἕξ, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ἰσοσκελές, τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρίγωνον ἀμβλυγώνιον, τρίγωνον σκαληνόν. ῥόμβων δὲ θεωρήματα δύο, ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές. τραπεζίων δέ εἰσιν τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τραπέζιον ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον, τραπέζιον ἀμβλυγώνιον. κύκλων δὲ θεωρήματα δ, κύκλος, ἁψίς, ἡμικυκλίου τμῆμα μεῖζον, ἡμικυκλίου τμῆμα ἧττον.
[24] Καὶ ταῦτα μὲν τὰ εἴδη ἐστὶ καὶ τὰ θεωρήματα τὰ ἐπίπεδα· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστῃ μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα θεωρήματά εἰσι τῶν στερεῶν δέκα, ἃ ἐπ' αὐτῶν μόνον δείκνυται, οὕτως· σφαῖρα, κύλινδρος, κῶνος, κῶνος κόλουρος, κύβος, σφήν, μείουρος, πυραμὶς ἐπὶ τριγώνου, πυραμὶς κόλουρος, θέατρον.
[25] Εἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως ἐστηριγμένοι οἵδε· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντη μεταπαρηλλαγμέναι, καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου τὰ ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευρῶν τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετραγώνῳ, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ τῷ ζ΄ μείζων, καὶ ἕνδεκα τετράγωνα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστὶν ἐμβαδοῖς δεκατέτρασι κύκλων.
[4]
[1] Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηται ἀπὸ τῶν ἀνθρωπίνων μελῶν, δακτύλου, παλαιστῆς, σπιθαμῆς, λιχάδος, ποδός, πήχεως, βήματος, ὀργυιᾶς.
[2] Καί ἐστιν ἡ ὀργυιὰ δακτύλων Ϛ, τὸ δὲ βῆμα δακτύλων μ, ὁ δὲ πῆχυς δακτύλων κδ, πόδα δὲ ἔχει Ῥωμαικὸν α καὶ Ϛ΄ ε΄ ι΄, ὡς ἔχειν τοὺς θ πόδας πήχεις ε.
[3] Ὁ ποὺς ὁ Φιλεταίρειος ἔχει δακτύλους ιϚ, ὁ δὲ Ἰταλικὸς δακτύλους ιγ γ΄, ἡ σπιθαμὴ δὲ δακτύλους ιβ, ἡ λιχὰς δακτύλους η.
[4] Παλαιστὴ δακτύλων δ.
[5] Καὶ αὐτὸς δὲ ὁ δάκτυλος διαιρεῖται εἰς μέρη· ἐπιδέχεται γὰρ καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον καὶ τέταρτον καὶ τὰ λοιπά.
[6] Ἐπειδὴ δὲ ἐν τοῖς κλίμασιν ἐκράτησέν τις παρ' ἑκάστῳ συνήθεια τοῖς ἐγχωρίοις χρῆσθαι μέτροις, καὶ τινὲς μὲν πήχει ἢ καλάμῳ ἢ ὀργυιᾷ, τινὲς δὲ ποδὶ ἢ ἰουγέρῳ ἢ πλέθρῳ ἢ σάτῳ ἢ ἀρτάβῃ ἢ ἄλλοις τοιούτοις μετροῦσιν, [ἐκ] τῆς ἀναλογίας τοῦ ποδὸς πρὸς τὸν πῆχυν σωζομένης ἐξισοῦται τὰ μέτρα.
[7] Τούτων δὲ οὕτως λαμβανομένων πρὸς πόδα καὶ ἰούγερον τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ἐποιησάμεθα. καὶ τὸ μὲν ἰούγερόν ἐστιν ἐμβαδῶν ποδῶν βϚηω· ἔχει γὰρ μῆκος ποδῶν σμ, πλάτος ποδῶν ρκ· διαιρεῖται δὲ εἰς οὐγκίας ιβ, ὡς εἶναι ἑκάστην οὐγκίαν ποδῶν Ϛβυ. καὶ αὐτὴ δὲ ἡ οὐγκία διαιρεῖται εἰς σκρίπουλα ἤτοι γράμματα κδ, ὡς εἶναι ἕκαστον σκρίπουλον ποδῶν ρ.
[8] Καὶ ἐν τοῖς στερεοῖς [χωρίοις] ὁ στερεὸς ποὺς χωρεῖ μοδίους Ἰταλικοὺς γ· μόδιος ἕκαστος ξεστῶν ιϚ.
[9] Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ ὑποτεταγμένα Ἥρωνος· εἴδη δὲ τῆς μετρήσεώς ἐστι τὰ ὑποτεταγμένα οὕτως· δάκτυλος, παλαιστής, λιχάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς ψιλός, ὃς καλεῖται πυγών, πῆχυς, βῆμα, ξύλον, ὀργυιά, κάλαμος, ἄκαινα, ἄμμα, πλέθρον, ἰούγερον, στάδιον, μίλιον, δίαυλος, δόλιχος, σχοῖνος, παρασάγγης.
[10] Ὁ μὲν οὖν παλαιστὴς ἔχει δακτύλους δ· ἡ λιχὰς ἔχει παλαιστὰς β, δακτύλους η· ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ, δακτύλους ιβ, καλεῖται δὲ καὶ ξυλοπριστικὸς πῆχυς. ὁ ποὺς ἔχει βασιλικοὺς καὶ Φιλεταιρείους παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ, ὁ δὲ Ἰταλικὸς ποὺς ἔχει δακτύλους ιγ γ΄· ἡ πυγὼν ἔχει παλαιστὰς ε, δακτύλους κ· ὁ πῆχυς ἔχει παλαιστὰς Ϛ, δακτύλους κδ, ὁ δὲ Νειλῷος πῆχυς ἔχει παλαιστὰς ζ, δακτύλους κη, ὁ δὲ Στοικὸς πῆχυς ἔχει παλαιστὰς η, δακτύλους λβ. τὸ δὲ βῆμα ἔχει πήχεις α, παλαιστὰς ι, δακτύλους μ, πόδας βϚ΄. τὸ δὲ ξύλον ἔχει πόδας δϚ΄, πήχεις γ, παλαιστὰς ιη, δακτύλους οβ.
[11] Ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις δ παλαιστὰς κδ, πόδας Φιλεταιρείους Ϛ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας ζε΄. ὁ κάλαμος ἔχει πήχεις ε, πόδας Φιλεταιρείους μὲν ζϚ΄, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας θ.
[12] Ἡ ἄκαινα ἔχει πήχεις Ϛ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν ι, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας ιβ. τὸ ἄμμα ἔχει πήχεις μ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν ξ, [13] Ἰταλικοὺς δὲ πόδας οβ. τὸ πλέθρον ἔχει ἀκαίνας ι, πήχεις ξϚ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν ρ, Ἰταλικοὺς δὲ ρκ. τὸ ἰούγερον ἔχει πλέθρα β, ἀκαίνας κ, πήχεις ρλγ γ΄, πόδας Φιλεταιρείους μὲν σ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας σμ. τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ, ἀκαίνας ξ, καλάμους π, ὀργυιὰς ρ, βήματα σμ, πήχεις υ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν χ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας ψκ. ὁ δίαυλος ἔχει στάδια β, πλέθρα ιβ, ἀκαίνας ρκ, καλάμους ρξ, ὀργυιὰς σ, βήματα υπ, πήχεις ω, πόδας Φιλεταιρείους μὲν Ϛασ, Ἰταλικοὺς δὲ Ϛαυμ. τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζϚ΄, πλέθρα με, ἀκαίνας υν, καλάμους χ, ὀργυιὰς ψν, βήματα Ϛαω, πήχεις Ϛγ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν Ϛδφ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας Ϛευ. ὁ δόλιχος ἔχει στάδια ιβ, πλέθρα οβ, ἀκαίνας ψκ, καλάμους Ϡξ, βήματα Ϛβωπ, πήχεις Ϛδω, πόδας Φιλεταιρείους μὲν Ϛζσ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας Ϛηχμ. ἡ σχοῖνος ἔχει μίλια δ, στάδια λ, πλέθρα ρπ, ἀκαίνας Ϛαω, καλάμους Ϛβυ, ὀργυιὰς Ϛγ, βήματα Ϛζσ, πήχεις αϚβ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν αϚη, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας βϚαχ. ὁ παρασάγγης ἔχει ὁμοίως ὡς ἡ σχοῖνος. ἡ βαρβαρικὴ σχοῖνος ἔχει στάδια με, ἡ δὲ Περσικὴ σχοῖνος ἔχει στάδια ξ. τὸ δὲ κεμέλει τὸ καλούμενον ἔχει στάδια ....
[2a] Πάντων δὲ ἐλαχιστότερόν ἐστι δάκτυλος, ὅστις καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖται δὲ ἔσθ' ὅτε· ὑπομένει γὰρ καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον καὶ λοιπὰ μόρια.
[3a] Μετὰ δὲ τὸν δάκτυλον, ὅς ἐστι μέρος ἐλάχιστον πάντων, ὁ παλαιστής, ὃν καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι διὰ τὸ τέσσαρας ἔχειν δακτύλους ἢ διὰ τὸ εἶναι τέταρτον τοῦ ποδός, τινὲς δὲ καὶ τρίτον διὰ τὸ εἶναι τρίτον τῆς σπιθαμῆς· ἡ γὰρ σπιθαμὴ τρία τέταρτα ἔχει, ὁ δὲ ποὺς τέσσαρα.
[4a] Ἡ λιχὰς ἔχει παλαιστὰς δύο ἤγουν δακτύλους ὀκτὼ καὶ καλεῖται δίμοιρον σπιθαμῆς. λιχὰς δὲ λέγεται τὸ τῶν δύο δακτύλων ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ· τοῦτο καὶ κυνόστομον καλοῦσί τινες.
[5a] Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς τρεῖς ἤγουν δακτύλους δώδεκα.
[6a] Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν α γ΄ ἤγουν παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ.
[7a] Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας δύο ἤγουν σπιθαμὰς β ΄, παλαιστὰς ὀκτώ, δακτύλους λβ.
[8a] Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει σπιθαμὰς γ γ΄ ἤγουν πόδας β Ϛ΄ ἢ παλαιστὰς ι ἢ δακτύλους μ.
[9a] Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει πόδας πέντε ἢ σπιθαμὰς Ϛ ΄ ἢ παλαιστὰς κ ἢ δακτύλους π.
[10a] Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει σπιθαμὰς β ἢ ποῦν ἕνα πρὸς τῷ ἡμίσει ἢ παλαιστὰς Ϛ ἢ δακτύλους κδ· ὡσαύτως καὶ ὁ τοῦ πριστικοῦ ξύλου.
[11a] Ἡ ὀργυιά, μεθ' ἧς μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ, ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς θ δ΄ ἢ πόδας ἓξ καὶ σπιθαμὴν α δ΄ ἢ παλαιστὰς ἤγουν γρόνθους εἰκοσιεπτὰ καὶ ἀντίχειρον, τουτέστι τοὺς μὲν εἰκοσιὲξ ἐσφιγμένης οὔσης τῆς χειρός, τὸν δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ μεγάλου δακτύλου τῆς χειρός, ὃς δὴ καὶ λέγεται τέταρτον σπιθαμῆς, ἔχει δὲ δακτύλους γ. μεθ' ὃ [δὲ] ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν καλάμῳ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι σχοινίον ἤγουν σωκάριον δεκαόργυιον καὶ οὕτως μετρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον τῆς σπορίμου γῆς δέκα ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ δὲ λιβαδίου καὶ τῶν περιορισμῶν ιβ.
[12a] Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκαοργυίου σχοινίου ἔχει ὁ τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ δὲ τοῦ δωδεκαοργυίου ἔχει [13a] ὀργυιὰς σπη. πλὴν οἱ βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τόποι μετὰ τοῦ δεκαοργυίου σχοινίου ὀφείλουσι μετρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ τῶν προαστείων καὶ τῶν χωρίων τῶν ὁλογύρως μετρουμένων μετὰ τοῦ δωδεκαοργυίου σχοινίου ὀφείλουσι μετρεῖσθαι διὰ τὸ εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν περιορισμῶν αὐτῶν πολλάκις ξηροχειμάρρους καὶ ῥύακας καὶ λόχμας καὶ ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυίου σχοινίου μετρηθῶσιν, ὀφείλουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν σωκαρίων κατὰ δέκα σωκάρια σωκάριον ἓν εἴτε ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ δέκα μόδια μόδιον ἓν διὰ τὰς εἰρημένας αἰτίας.
[14] Χρὴ δὲ γινώσκειν καὶ τοῦτο, ὅτι ὁ σπόριμος μόδιος ἔχει λίτρας τεσσαράκοντα· μία δὲ ἑκάστη λίτρα σπείρει γῆν ὀργυιῶν πέντε.
[15] Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν πέντε ποιοῦσι λίτραν μίαν.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ι ποιοῦσι λίτρας δύο.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ιε ποιοῦσι λίτρας γ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κ ποιοῦσι λίτρας δ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κε ποιοῦσι λίτρας ε.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λ ποιοῦσι λίτρας Ϛ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λε ποιοῦσι λίτρας ζ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν μ ποιοῦσι λίτρας η.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν με ποιοῦσι λίτρας θ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ν ποιοῦσι λίτρας ι.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν νε ποιοῦσι λίτρας ια.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξ ποιοῦσι λίτρας ιβ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξε ποιοῦσι λίτρας ιγ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ο ποιοῦσι λίτρας ιδ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν οε ποιοῦσι λίτρας ιε.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν π ποιοῦσι λίτρας ιϚ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν πε ποιοῦσι λίτρας ιζ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας ιη.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ε ποιοῦσι λίτρας ιθ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ρ ποιοῦσι λίτρας κ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν σ ποιοῦσι λίτρας μ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν τ ποιοῦσι λίτρας ξ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν υ ποιοῦσι λίτρας π.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν φ ποιοῦσι λίτρας ρ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν χ ποιοῦσι λίτρας ρκ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ψ ποιοῦσι λίτρας ρμ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ω ποιοῦσι λίτρας ρξ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϡ ποιοῦσι λίτρας ρπ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛα ποιοῦσι λίτρας σ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛβ ποιοῦσι λίτρας υ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛγ ποιοῦσι λίτρας χ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛδ ποιοῦσι λίτρας ω.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛε ποιοῦσι λίτρας Ϛα.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ϚϚ ποιοῦσι λίτρας Ϛασ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛζ ποιοῦσι λίτρας Ϛαυ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛη ποιοῦσι λίτρας Ϛαχ.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν Ϛθ ποιοῦσι λίτρας Ϛαω.
Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας Ϛβ.
Αἱ σ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνός.
Αἱ τ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίου ἑνὸς ἡμίσεος.
Αἱ υ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο.
Αἱ φ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δύο ἡμίσεος.
Αἱ χ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν.
Αἱ ψ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριῶν ἡμίσεος.
Αἱ ω ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων.
Αἱ Ϡ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσάρων ἡμίσεος.
Αἱ χίλιαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πέντε.
Αἱ Ϛβ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων δέκα.
Αἱ Ϛγ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων ιε.
Αἱ Ϛδ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων εἴκοσι.
Αἱ Ϛε ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων κε.
Αἱ ϚϚ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τριάκοντα.
Αἱ Ϛζ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων λε.
Αἱ Ϛη ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων τεσσαράκοντα.
Αἱ Ϛθ ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων με.
Αἱ μύριαι ὀργυιαί εἰσι τόπος μοδίων πεντήκοντα.
[5]
[1] Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ ὑποτεταγμένα οὕτως·
[2] Ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται ρμδ πόδες. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
[3] Ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ποδῶν ν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώνιον. ποιῶ οὕτως· τὰ ν ἐφ' ἑαυτά· γίγνονται Ϛβφ. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσούτων. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν. δὶς τὸ ἐμβαδὸν Ϛε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίγνεται ποδῶν ο Ϛ΄ δ΄. τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος. καὶ ἄλλως· τὴν μίαν πλευράν, τουτέστι τὰ ν, ἐπὶ τὰ ο Ϛ΄ δ΄· γίγνονται πόδες Ϛγφλζ Ϛ΄· ὧν ν΄ γίνεται ο Ϛ δ΄.
[1a] Τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ποιησώμεθα.
[2a] Περὶ τετραγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ὀρθογωνίων.
Τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ὀργυιῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰς ι ἐπὶ τὰς ι· γίνονται ρ· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. τούτων τὸ ε΄· γίνονται κ· καὶ ἔστιν λιτρῶν κ ἤτοι μοδίου Ϛ΄.
[3a] Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ὀργυιῶν ιη· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν βάσεων ἐπὶ τὴν μίαν τῶν καθέτων, ἤγουν τὰς ιη ἐπὶ τὰς ιη· γίνονται τκδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τετραγώνου ὀργυιῶν τκδ. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται α Ϛ΄ ι΄ ν΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων α Ϛ΄ καὶ λιτρῶν δ Ϛ΄ ε΄ ι΄· τοῦ γὰρ μέτρου τοῦ μοδίου ὀργυιῶν σ παραλαμβανομένου, λιτρῶν δὲ μ, ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ ὀργυιαὶ ε, ἑκάστῃ δὲ ὀργυιᾷ τὸ ε΄ τῆς λίτρας.
[4] Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ αἱ δ πλευραὶ ἀνὰ ὀργυιῶν λϚ. αὗται ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι γίνονται ϚασϚ· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται Ϛ δ΄ η΄ ι΄ σ΄· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων ἓξ καὶ λιτρῶν ιθ ε΄· αἱ γὰρ Ϛασ ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν σ ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων ἕξ, αἱ δὲ λοιπαὶ Ϛ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν ε ποσοῦνται εἰς γῆν λιτρῶν ιθ καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
[5] Καὶ οὕτω μὲν ἐπὶ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν· ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· τὴν μίαν τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν, ὧν τὸ Ϛ΄, καὶ ἔστιν ὁ μοδισμός. οἷον ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων Ϛ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται λϚ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων λϚ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιη.
[6] Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιϚ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ρκη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ἑκατὸν εἰκοσιοκτώ.
[7] Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ αἱ δ πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων κε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται τιβ Ϛ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τιβ Ϛ΄.
[8] Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ καὶ ὀργυιῶν Ϛ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς ὀργυιάς· γίνονται διά τε σχοινίων καὶ ὀργυιῶν ὀργυιαὶ ρκϚ, αἵτινες ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι συμποσοῦνται εἰς ϚεωοϚ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν τοσούτων. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται οθ δ΄ η΄ σ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οθ καὶ λιτρῶν ιε ε΄· αἱ γὰρ Ϛεω ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν σ ποιοῦσι γῆν μοδίων οθ, αἱ δὲ λοιπαὶ οϚ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν πέντε ποιοῦσι γῆν λιτρῶν ιε καὶ ὀργυιᾶς α.
[9] Τετραγώνου ἰσοπλεύρου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ιβ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ταῦτα δὶς σπη· τούτων τετραγωνικὴ πλευρὰ ιζ· καὶ ἔστιν ἡ διαγώνιος ιζ.
[10] Παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου τὴν διαγώνιον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ιβ τῆς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· τὰ ε τῆς ὀρθῆς ἐφ' ἑαυτὰ κε· ὁμοῦ ρξθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιγ· καὶ ἔστι τοσούτων ἡ διαγώνιος.
[6]
[1] Ἔστω τετράγωνον ἑτερόμηκες ἤτοι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώνιον. ποιῶ οὕτως. τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες Ϛαφ. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν Ϛαφ ποδῶν. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν. τὸ μῆκος ἐφ' ἑαυτό· γίνονται πόδες Ϛβφ· καὶ τὸ πλάτος ἐφ' ἑαυτό· γίνονται πόδες Ϡ· ὁμοῦ γίνονται πόδες Ϛγυ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν νη γ΄. τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος [ποδῶν νη γ΄], τὸ δὲ ἐμβαδόν ἐστι ποδῶν Ϛαφ.
[2] Ἔστω τετράγωνον παραλληλόγραμμον μὴ ὂν ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μεῖζον μῆκος ποδῶν λβ καὶ ἡ ἄλλη ποδῶν λ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ξβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λα. καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ιη καὶ τὸ ἄλλο ποδῶν ιϚ· ὁμοῦ γίνονται λδ· ὧν τὸ Ϛ΄ ιζ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ λα· γίνονται πόδες φκζ. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν [ποδῶν φκζ].
[1a] Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, μετρεῖται οὕτως· ἔστω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος ἤγουν ἐπὶ τὰ η· γίνονται κδ· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι μοδίων τοσούτων.
[2a] Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ ὀργυιῶν κ, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ ὀργυιῶν ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὰ κ ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται τ· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ε΄· γίνονται ξ· καὶ ἔστι λιτρῶν ξ ἤτοι μοδίου αϚ΄.
[3] Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ ὀργυιῶν π, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ ὀργυιῶν ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον τὰς π τοῦ μήκους ἐπὶ τὰς ξ τοῦ πλάτους· γίνεται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ὀργυιῶν Ϛδω. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται κδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων εἰκοσιτεσσάρων.
[4] Τετράγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἰσόπλευρον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν ρ· εὑρεῖν αὐτοῦ, πόσων ὀργυιῶν ἑκάστη πλευρά. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν ρ πλευρὰν τετράγωνον· γίνεται ι· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρά.
[5] Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ σχοινίων ὀκτώ, τὸ δὲ ἐμβαδὸν σχοινίων μ· εὑρεῖν τὸ πλάτος. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν μ τὸ ὄγδοον· γίνεται ε· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ πλάτος. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὰ ε τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους· γίνονται μ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κ.
[7]
[1] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν κάθετος ποδῶν λ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν μ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες Ϛασ· ὧν Ϛ΄· γίνονται πόδες χ. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν [2] ποδῶν χ. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. τὰ λ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· καὶ τὰ μ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαχ· ὁμοῦ πόδες Ϛβφ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ [3] γίνεται ν. ἄλλως εὑρεῖν τὴν ὑποτείνουσαν. σύνθες τὰς β πλευρὰς τὰ λ καὶ τὰ μ· γίνονται ο· ταῦτα ἐπὶ ε τν· τούτων τὸ ζ΄ ν.
[5] Ἔστω τρίγωνον ἕτερον ὀρθογώνιον καὶ ἐχέτω τὴν μὲν βάσιν ποδῶν μ, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν μα, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως· τὰ μα ἐφ' ἑαυτά· γίνεται Ϛαχπα· καὶ τὰ μ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαχ. ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῶν Ϛαχπα ποδῶν· λοιπὸν μένουσιν πόδες πα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνονται [6] πόδες θ. νῦν ποιῶ τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται τξ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες ρπ. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ρπ.
[1a] Ἔστω τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ βάσις σχοινίων δ ἤτοι ὀργυιῶν μ, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων γ ἤτοι ὀργυιῶν λ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ε ἤτοι ὀργυιῶν [2a] ν· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ μὲν τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· λάμβανε τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ β, καὶ πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων Ϛ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται γ· καὶ ἔστι γῆς [3a] μοδίων γ. ἐπὶ δὲ τῶν ὀργυιῶν λάμβανε ὁμοίως τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰς κ ὀργυιάς, καὶ πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰς λ τῆς καθέτου· γίνονται χ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν χ. τούτων μέρος διακοσιοστὸν γίνεται γ· καὶ ἔστι καὶ οὕ[6]τως [4a] γῆς μοδίων τριῶν. ἐν παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν μετὰ σχοινίου γίνεται, τὰ τοῦ πολυπλασιασμοῦ ἡμισειαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ ὀργυιᾶς, αἱ τοῦ πολυπλασιασμοῦ ὀργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν σ ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν, μ δὲ λιτρῶν οὐσῶν τῷ ἑνὶ μοδίῳ ὀργυιῶν τε σ ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ ὀργυιαὶ πέντε.
[5a] Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων η ἤτοι ὀργυιῶν π, ἡ δὲ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων Ϛ ἤτοι ὀργυιῶν ξ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ι ἤτοι ὀργυιῶν ρ· εὑρεῖν [6a] τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ τῶν σχοινίων ποίησον οὕτως· λαβὼν τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ σχοινία πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων κδ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι γῆς [7a] μοδίων ιβ. ἐπὶ δὲ τῶν ὀργυιῶν ποίησον οὕτως· λαβὼν τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰς μ ὀργυιὰς πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ξ τῆς καθέτου οὕτως· μ ξ Ϛβυ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν Ϛβυ. τούτων μέρος διακοσιοστὸν γίνεται ιβ· καὶ ἔστι καὶ οὕτως γῆς μοδίων ιβ.
[8] Ἰστέον δέ, ὡς παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολυπλασιασμοὶ τῶν β πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι εἰσὶ τῷ πολυπλασιασμῷ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης. [9] οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ β πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν μείζων σχοινίων η, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ Ϛ, τουτέστιν ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὰ η τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. εἶτα σύνθες ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν τοὺς πολυπλασιασμούς, ἤγουν τὰ ξδ καὶ τὰ λϚ· γίνονται ρ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνεται ι· καὶ ἔστιν ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων ι [καὶ ἐπὶ ἄλλων ὁμοίως ποίει].
[10] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιϚ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιβ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων κ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιϚ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρβ· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῶν Ϛ· [11] γίνονται μη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μη. ἐὰν δὲ θέλῃς [ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευρῶν] τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ ιϚ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· καὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ υ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος [12] κ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ αὐτῶν λαβὲ τὰ ιϚ ποιῶν ἐφ' ἑαυτὰ [γίνονται] σνϚ· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ· τοσούτων [13] σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν, ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ιβ γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ ρμδ· λοιπὰ σνϚ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιϚ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ βάσις. [14] ἐὰν δὲ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων κ καὶ θέλῃς ἐκ ταύτης εὑρεῖν τὴν βάσιν καὶ τὴν πρὸς ὀρθάς, ποίει οὕτως· τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης τετράκις· γίνονται π· ὧν τὸ ε΄· [15] γίνονται ιϚ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ βάσις. ὁμοίως καὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. τρισσάκις τὰ κ· γίνονται ξ· τούτων τὸ ε΄· γίνονται ιβ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς.
[16] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν χ, ἡ δὲ κάθετος ὀργυιῶν λ· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· δὶς τὸ ἐμβαδόν· γίνονται Ϛασ. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὴν κάθετον· γίνονται [17] μ· τοσούτων ἐστὶν ὀργυιῶν ἡ βάσις. ὁμοίως καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολυπλασίαζε τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϡ· καὶ τὴν βάσιν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϛαχ· ὁμοῦ γίνονται Ϛβφ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ν· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα.
[8]
[1] Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ τὴν Πυθαγόρειον μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ, ποιήσεις οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· ἀπὸ τούτων ἄφελε μονάδα μίαν· λοιπὰ κδ· τούτων τὸ Ϛ΄ ιβ· ταῦτα ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν· γίνονται ιγ· τοσούτων ἡ ὑποτείνουσα.
[2] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. λαβὲ τῶν ιβ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται λ· καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.
[3] Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς ἄξαι κάθετον ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν, πολυπλασίαζε τὰ ε τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ιβ τῆς βάσεως· γίνονται ἑξήκοντα. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται δ Ϛ΄ ιγ΄ κϚ΄ ἤτοι μονάδες δ καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ ὀκτώ· τοσούτου ἀριθμοῦ ἡ κάθετος.
[4] Τὴν δὲ ἀποτομὴν αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ· καὶ τὰ ε τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· ὁμοῦ ρδ. ἀπὸ τούτων λαβὲ τὰ ιβ τῆς βάσεως ποιῶν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· λοιπὰ ν· ὧν ἥμισυ γίνεται κε. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται α Ϛ΄ γ΄ ιγ΄ οη΄ ἤτοι μονὰς μία καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ ιβ· τοσούτου ἡ ἀποτομὴ τοῦ ἥττονος τμήματος. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν ιγ· λοιπὰ ια ιγ΄ ἤτοι μονάδες ἕνδεκα καὶ λεπτὸν ιγ΄ α· τοσούτου ἡ ἀποτομὴ καὶ τοῦ μείζονος τμήματος.
[5] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ἀπὸ τούτων εὑρεῖν. λαβὲ τῶν ιγ τῆς ὑποτεινούσης τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ Ϛ΄· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ἀριθμὸν τῆς ἀχθείσης καθέτου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ Ϛ΄ ιγ΄ κϚ΄· γίνονται τριάκοντα. ἔσται οὖν καὶ οὕτως τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μονάδων τριάκοντα.
[9]
[1] Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίησον οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται δ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. ἀφαίρει ἀπὸ τούτων μονάδα μίαν· λοιπὰ ιε· τοσούτου ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ιζ· ταῦτα ἀπόδος τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.
[2] Τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε ἀεὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ Ϛ΄ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγόμενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου.
[3] οἷον ἔστω τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ βάσις σχοινίων κ, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιε καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων κε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δέκα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ιε τῆς καθέτου· γίνονται ρν· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται οε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οε.
[4] Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις ἀνὰ σχοινίων ε, αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ξ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ.
[5] Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν ι τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται ε· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος.
[10]
[1] Παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε ἀεὶ τὴν α τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτὴν καὶ τοῦ ἀναβιβαζομένου ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολυπλασιασμοῦ λάμβανε μέρος γ΄ καὶ ι΄· καὶ ἔστι τὸ [2] ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. οἷον ὡς ἐν παραδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ι· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὰ ι τῆς α πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ὧν τὸ γ΄· γίνονται λγ γ΄· καὶ τὸ ι΄· γίνονται ι· σύνθες τὰ λγ γ΄ καὶ τὰ ι· γίνονται μγ γ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.
[3] Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ι΄ καὶ λ΄ τῆς πλευρᾶς καὶ τὸ [4] λοιπὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα πολυπλασίαζε τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι. μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ι΄· γίνεται α· καὶ τὸ λ΄· γίνεται γ΄· ταῦτα ἤγουν τὸ α γ΄ ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν ι· λοιπὰ η ΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος.
[5] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ πέντε σχοινία πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ η ΄ τῆς καθέτου· γίνονται μγ γ΄· καὶ ἔστιν καὶ οὕτως τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μγ γ΄. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κα ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κ πρὸς τῷ ἑνὶ καὶ λιτρῶν εἰκοσιὲξ διμοίρου.
[6] Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον τὰ ιβ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη· καὶ τὸ ι΄ ιδ γ΄ ιε΄· ὁμοῦ [7] ξβ γ΄ ιε΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. τὴν δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ὁμοίως τὸ ι΄ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν· καὶ τὸ λοιπόν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν ιβ· μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ι΄· γίνεται α ε΄· καὶ τὸ λ΄· γίνεται γ΄ ιε΄. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις α Ϛ΄ ι΄· ταῦτα ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν ιβ· λοιπὰ ι γ΄ ιε΄· τοσούτων [8] σχοινίων ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ ι γ΄ ιε΄· καὶ οὕτως γίνονται ξβ γ΄ ιε΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λα ε΄· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων λα καὶ λιτρῶν η.
[9] Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ γ΄ καὶ ι΄· γίνονται τ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
[10] Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν, λαβὲ τῶν λ τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται ιγ· ταῦτα ἐπὶ τὴν πλευρὰν ἤγουν τὰ λ· γίνονται τ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
[11] Ἐὰν θέλῃς καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ· γίνονται Ϛαψ· ὧν τὸ λ΄ τ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
[Ἔτι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κϚ τῆς καθέτου· γίνονται ψπ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται τ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.]
[12] Ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν· ἔστι δὲ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων λ· ποίει οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ δ΄· γίνονται σκε· λοιπὰ χοε· ὧν πλευρὰ τετράγωνος κϚ ὡς σύνεγγυς· ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων κϚ.
[13] [Ἄλλως εἰς τοῦτο. λαμβάνω τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται ιε· ταῦτα πολυπλασιάζω ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε. καὶ τὰ λ τοῦ σκέλους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ σκε· λοιπὰ χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ὡς σύνεγγυς γίνεται κϚ· ἔσται οὖν ἡ κάθετος σχοινίων εἰκοσιέξ.] ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν βάσιν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ λ· γίνονται ψπ· ὧν τὸ Ϛ΄ τ· καὶ μένει αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τ. τούτων πάλιν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ρε.
[11]
[1] Τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν κ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες σμ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται πόδες ρκ. ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ρκ.
[2] Τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν ποδῶν κε, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως· ἑκάστης πλευρᾶς ποίησον τετράγωνον· γίνονται πόδες χκε· λαμβάνω τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται πόδες ζ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ· λοιπὸν μένουσι πόδες φοϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν κδ. καὶ τὰ ζ ἐπὶ τὴν κάθετον πόδες ρξη· τοσούτων ἔστω τὸ ἐμβαδόν. [1a] Τρίγωνον ἰσοσκελὲς μετρεῖται οὕτως· ἔστω τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ε, ἡ δὲ βάσις σχοινίων Ϛ· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται κε· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ. εἶτα ὑπέξελε τὰ θ ἀπὸ τῶν κε· λοιπὰ ιϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ δ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
[2a] τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ γ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιβ· καὶ ἔστιν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ιβ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων Ϛ·
[3] Ὡσαύτως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ε, ἡ δὲ βάσις σχοινίων η· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται κε· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν κε· λοιπὰ θ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται γ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
[4] τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὴν κάθετον ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ δ· καὶ γίνονται ιβ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων Ϛ. τὸ τοιοῦτον ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.
[5] Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν τῶν ρ· λοιπὰ ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται η· τοσούτων [6] σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὰ η τῆς καθέτου ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται μη· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μη. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κδ.
[7] Ὁμοίως ἔστω καὶ ἑτέρου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιϚ· εὑρεῖν τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὰ ι τῆς μιᾶς τῶν ἴσων πλευρῶν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ η ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ. ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ρ· λοιπὰ λϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ [8] Ϛ· τοσούτων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ η ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται μη· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μη. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων κδ. καὶ τὸ παρὸν ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ τριγώνῳ.
[9] Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιδ, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων κε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται ζ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· καὶ τὰ κε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ μθ· λοιπὰ φοϚ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται κδ· τοσούτων [10] ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, λαβὲ τῶν ιδ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κδ τῆς καθέτου ἤγουν τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρξη· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου ἰσοσκελοῦς τριγώνου.
[11] Ἔστω καὶ ἑτέρου ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἡ βάσις σχοινίων μη, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων κε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ· καὶ τὰ κε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ φοϚ· λοιπὰ μθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ· τοσούτων [12] ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ τῶν μη τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρξη· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τριγώνου. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων πδ. καὶ τὸ παρὸν ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸ αὐτοῦ.
[12]
[1] Ἔστω τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν ἥττων πλευρὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιδ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· πολυπλασίασον τὰ ιγ τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ· καὶ τὰ ιδ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· καὶ τὰ ιε τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε. εἶτα σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ ρϚ καὶ τὰ σκε· γίνονται υκα· ἀφ' ὧν ἀφαίρει τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ ρξθ· λοιπὰ σνβ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ρκϚ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ιδ τῆς βάσεως· γίνονται θ· τοσούτων σχοινίων ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· τὰ πα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ, τουτέστι τῶν σκε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ιβ· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων ἡ κάθετος.
[2] Ἄλλως. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ἥττονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ ρϚ καὶ τὰ ρξθ· γίνονται τξε· ἀφ' ὧν ἀφαίρει τὸν τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ σκε· λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ Ϛ΄ ο· ὧν τὸ ιδ΄ ε· τοσούτων σχοινίων ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· τὰ κε ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιβ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
[3] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται ζ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται πδ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ τριγώνου. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μβ.
[4] Ἄλλως γίνεται ἡ ἀναμέτρησις ἐπὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου, οὗ ἡ βάσις σχοινίων ιγ, ἡ μείζων πλευρὰ σχοινίων ιε, ἡ ἐλάττων σχοινίων ιδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως· σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ ρξθ καὶ τὰ ρϚ· γίνονται τξε· ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ σκε· λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ Ϛ΄ ο. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ιγ τῆς βάσεως· γίνονται μονάδες ε καὶ ε ιγ΄ ιγ΄· τοσούτων [5] σχοινίων ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες κθ παρὰ ιγ΄ τὸ ιγ΄. πολυπλασιάζεται οὕτως· ε ε κε· καὶ πεντάκις τὰ ε ιγ΄ ιγ΄ κε ιγ΄ ιγ΄· καὶ αὖθις ε ιγ΄ ιγ΄ τῶν ε μονάδων κε ιγ΄ ιγ΄· καὶ ε ιγ΄ ιγ΄ τῶν ε ιγ΄ ιγ΄ κε ιγ΄ ιγ΄ τῶν ιγ΄ ιγ΄, γινόμενα καὶ ταῦτα ιγ΄ ιγ΄ β παρὰ ιγ΄ τὸ ιγ΄· ὁμοῦ μονάδες κε καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ νβ παρὰ ιγ΄ τὸ ιγ΄, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες δ παρὰ ιγ΄ τὸ ιγ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες κθ παρὰ ιγ΄ τὸ ιγ΄. ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν παρακειμένην πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ, τουτέστιν ἀπὸ τῶν ρϚ· λοιπαὶ μονάδες ρξζ καὶ ιγ΄ τὸ ιγ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ μονάδες ιβ καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ ιβ· τοσούτων [6] ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. πολυπλασιάζονται δὲ αἱ ιβ μονάδες καὶ τὰ ιβ ιγ΄ ιγ΄ οὕτως· ιβ ιβ ρμδ· καὶ ιβ τὰ ιβ ιγ΄ ιγ΄ ρμδ ιγ΄ ιγ΄· καὶ πάλιν ιβ ιγ΄ ιγ΄ τῶν ιβ μονάδων ρμδ ιγ΄ ιγ΄· καὶ ιβ ιγ΄ ιγ΄ τῶν ιβ ιγ΄ ιγ΄ ρμδ ιγ΄ ιγ΄ τῶν ιγ΄ ιγ΄, γινόμενα καὶ ταῦτα ια ιγ΄ ιγ΄ καὶ ιγ΄ τὸ ιγ΄· ὁμοῦ μονάδες ρμδ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ σθ καὶ ιγ΄ τὸ ιγ΄, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες κγ καὶ ιγ΄ τὸ ιγ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες ρξζ καὶ ιγ΄ τὸ ιγ΄. ἔστιν οὖν ἡ κάθετος τοῦ παρόντος τριγώνου σχοινίων ιβ καὶ λεπτῶν ιγ΄ ιγ΄ ιβ.
[7] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ Ϛ Ϛ΄ ἐπὶ τὰ ιβ καὶ τὰ ιβ ιγ΄ ιγ΄· γίνονται πδ· καὶ ἔστι [8] τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς γινέσθω οὕτως· αἱ Ϛ πρὸς τῇ Ϛ΄ πολυπλασιασθήτωσαν μετὰ τῆς καθέτου [ἀμφότεροι] οὕτως· Ϛ ιβ οβ· καὶ ἑξάκις τὰ ιβ ιγ΄ ιγ΄ [τὰ] οβ ιγ΄ ιγ΄· αἱ ιβ μονάδες καὶ τὰ ιβ ιγ΄ ιγ΄ ἐπὶ τὸ Ϛ΄ Ϛ μονάδες καὶ Ϛ ιγ΄ ιγ΄· ὁμοῦ μονάδες οη καὶ ιγ΄ ιγ΄ οη, ἅτινα ποιοῦσι μονάδας Ϛ· ἑνωμένως οὖν μετὰ τῶν οη γίνονται πδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων.
[9] Ἔστω τριγώνου σκαληνοῦ ἡ βάσις σχοινίων ιε, ἡ μία τῶν πλευρῶν σχοινίων ιγ καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων ιδ· εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίησον οὕτως· σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ σκε καὶ τὰ ρξθ· γίνονται τδ. εἶτα ὑφεῖλον ἀπὸ τούτων τὸν τῆς λοιπῆς πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ ρϚ· λοιπὰ ρη· τούτων τὸ Ϛ΄ θ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ιε τῆς βάσεως· γίνεται τὸ ιε΄ τούτων μονάδες Ϛ καὶ λεπτὰ ιε΄ ιε΄ θ ἤτοι μονάδες Ϛ καὶ ε΄ ε΄ γ· τοσούτων σχοινίων ἡ ἀποτομή.
[10] ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες μγ καὶ ε΄ ε΄ γ παρὰ ε΄ τὸ ε΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· Ϛ Ϛ λϚ· καὶ ἑξάκις τὰ γ ε΄ ε΄ ιη ε΄ ε΄· καὶ αὖθις γ ε΄ ε΄ τῶν Ϛ μονάδων ιη ε΄ ε΄· καὶ γ ε΄ ε΄ τῶν γ ε΄ ε΄ θ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄, γινόμενα καὶ ταῦτα ε΄ ε΄ β παρὰ ε΄ τὸ ε΄· ὁμοῦ μονάδες λϚ καὶ ε΄ ε΄ λη παρὰ ε΄ τὸ ε΄, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ζ καὶ γ ε΄ ε΄ παρὰ ε΄ τὸ ε΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες [11] μγ καὶ ε΄ ε΄ γ παρὰ ε΄ τὸ ε΄. ταύτας ἄφελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν παρακειμένην πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπαὶ μονάδες ρκε ε΄ ε΄ β καὶ ε΄ τὸ ε΄ ἤτοι μονάδες ρκε γ΄ ιε΄ κε΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ια ε΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.
[12] ὁ δὲ τούτων πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· ια ια ρκα· καὶ ια τὸ ε΄ ια ε΄ ε΄· καὶ πάλιν ε΄ τῶν ια μονάδων ια ε΄ ε΄· καὶ ε΄ τὸ ε΄ κε΄· ὁμοῦ μονάδες ρκα ε΄ ε΄ κβ καὶ ε΄ τὸ ε΄, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες δ γ΄ ιε΄ κε΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες ρκε γ΄ ιε΄ κε΄.
[13] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ζ Ϛ΄ πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ια ε΄ τῆς καθέτου· γίνονται πδ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. πολυπλασίασον δὲ ταῦτα οὕτως· ζ ια οζ· καὶ τὸ ε΄ τῶν ζ α καὶ ε΄ ε΄ β· τὸ Ϛ΄ τῶν ια ε Ϛ΄. καὶ τοῦ ε΄ τὸ Ϛ΄ ι΄· ὁμοῦ μονάδες πβ καὶ ε΄ ε΄ ι, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες β, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες πδ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τεσσαράκοντα β.
[14] [Ταῦτα τὰ τρία σκαληνὰ ἓν σχῆμά ἐστι καὶ εἷς ἀριθμὸς καὶ μία ποσότης, γίνεται δὲ ἡ ἀναμέτρησις αὐτῶν, καθὼς ἄνωθεν εἴρηται. τοῦτο μόνον ὑπέφηνε τὰ σχήματα τῶν σκαληνῶν, ὅτι, ἐὰν τὴν βάσιν τάξῃς πλευρὰν ἢ τὴν πλευρὰν βάσιν, μὴ ἐκπέσῃς οὐδέποτε τῆς προκειμένης ποσότητος. παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ὀξυγωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν β πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης μείζονές εἰσιν ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης ἥττονές εἰσι πολυπλασιαζόμεναι πρὸς ἑαυτάς.]
[15] Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρὸν σκέλος σχοινίων κϚ, τὸ δὲ μεῖζον σχοινίων λ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων κη, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων κδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται ιδ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κδ τῆς καθέτου· γίνονται τλϚ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ τοῦ ὀξυγωνίου σκαληνοῦ τριγώνου σχοινίων τλϚ.
[16] Ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν, πόσων σχοινίων ἐστὶν ἡ βάσις τοῦ ἥττονος τμήματος τοῦ τριγώνου, ποίησον οὕτως· τὰ κϚ τοῦ μικροῦ σκέλους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χοϚ· ὁμοίως καὶ τὰ κη τῆς ὅλης βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ψπδ· ὁμοῦ γίνονται Ϛαυξ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ λ τοῦ μεγάλου σκέλους γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ Ϡ· λοιπὰ φξ· ὧν τὸ Ϛ΄ σπ· τούτων τὸ κη΄ ι, ἐπειδήπερ ἡ ὅλη βάσις σχοινίων κη γίνεται· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ βάσις [17] τοῦ ἥττονος τμήματος. δῆλον γάρ, ὅτι τὸ ὑπολιμπανόμενον ἀπὸ τῆς ὅλης βάσεως, τουτέστι τὰ ιη, τοῦ μείζονος τμήματός εἰσι, καὶ ἐγένοντο δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, τοῦ μὲν μείζονος ἡ βάσις σχοινίων ιη, τοῦ δὲ ἥττονος ι, ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων λ, ἡ ἑτέρα κϚ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς τῶν ἀμφοτέρων τριγώνων, ἥτις καὶ κάθετος καλεῖται, σχοινίων κδ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων [18] κη. ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου σχοινίων τλϚ. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· τὰ κη τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ κδ τῆς καθέτου· γίνονται χοβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται τλϚ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου, ἤγουν τοῦ μὲν μείζονος τμήματος σχοινίων σιϚ, τοῦ δὲ ἐλάττονος σχοινίων ρκ.
[19] Ἄλλως τὸ αὐτὸ ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μείζων πλευρὰ ὁμοίως σχοινίων λ, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων κϚ, ἡ βάσις σχοινίων κη· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· καὶ τὰ κϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χοϚ· καὶ τὰ κη ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ψπδ. συντιθῶ τὰ Ϡ καὶ τὰ ψπδ· γίνονται Ϛαχπδ· ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ χοϚ· λοιπὰ Ϛαη· ὧν τὸ Ϛ΄ φδ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ κη τῆς βάσεως· γίνονται ιη· ἔσται ἡ μείζων [20] βάσις σχοινίων ιη. ὁμοίως συντιθῶ τὰ χοϚ καὶ τὰ ψπδ· γίνονται Ϛαυξ· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ Ϡ· λοιπὰ φξ· τούτων τὸ Ϛ΄ σπ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ κη τῆς βάσεως· γίνονται ι· καὶ ἔσται ἡ ἐλάττων βάσις σχοινίων ι. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῶν χοϚ· λοιπὰ φοϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται [21] κδ· ταῦτα ἀπόδος τῇ καθέτῳ. πάλιν τὰ ιη ἐφ' ἑαυτά· γίνονται τκδ· ὑφαιρῶ ταῦτα ἀπὸ τῶν Ϡ· λοιπὰ φοϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ὁμοίως κδ. ταῦτα πολυπλασιάζω ὁμοίως ἐπὶ τὰ κη τῆς βάσεως· γίνονται χοβ· ὧν ἥμισυ γίνεται τλϚ· ἔσται οὖν ὁ τόπος τοῦ παντὸς [22] σχοινίων τλϚ. ποιῶ πάλιν τὰ κδ ἐπὶ τὰ ιη τῆς βάσεως τοῦ μείζονος τριγώνου· γίνονται υλβ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται σιϚ. ὁμοίως πολυπλασιάζω τὰ κδ ἐπὶ τὰ ι τῆς βάσεως τοῦ ἐλάττονος τριγώνου· γίνονται σμ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρκ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μὲν μείζονος τριγώνου σχοινίων σιϚ, τοῦ δὲ ἐλάττονος σχοινίων ρκ. συντιθῶ τὰ σιϚ καὶ τὰ ρκ· γίνονται τλϚ· μένει οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς τριγώνου, ὡς ἔστιν ἰδεῖν, σχοινίων τλϚ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρξη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ρξη.
[23] Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν πρώτη καὶ ἐλάττων πλευρὰ ὀργυιῶν λθ, ἡ δὲ ἑτέρα ἡ ὑποτείνουσα ὀργυιῶν με, ἡ δὲ βάσις ὀργυιῶν μβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· τὰ λθ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαφκα· καὶ τὰ με ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛβκε· καὶ τὰ μβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαψξδ. εἶτα σύνθες τὸν τῆς πλευρᾶς καὶ βάσεως πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ Ϛαφκα καὶ τὰ Ϛαψξδ· γίνονται Ϛγσπε· ἀφ' ὧν ὑφαίρει τὸν τῆς ὑποτεινούσης πολυπλασιασμὸν τὰ Ϛβκε· λοιπὰ Ϛασξ. τούτων τὸ Ϛ΄ χλ· ὧν τὸ μβ΄ ιε· τοσούτων ὀργυιῶν [24] ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε· τὰ σκε ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ, τουτέστιν ἀπὸ τῶν Ϛαφκα· λοιπὰ ϚασϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ [25] λϚ· τοσούτων ὀργυιῶν ἡ κάθετος. πάλιν σύνθες τὸν τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ Ϛβκε καὶ τὰ Ϛαψξδ· γίνονται Ϛγψπθ· ἀφ' ὧν ἆρον τὰ Ϛαφκα τῆς ἥττονος πλευρᾶς· λοιπὰ Ϛβσξη· ὧν τὸ Ϛ΄ Ϛαρλδ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ μβ τῆς βάσεως· γίνεται τὸ μβ΄ τούτων κζ· τοσούτων [26] ὀργυιῶν ἡ ἀποτομή. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ψκθ. τὰ ψκθ ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν ἀπὸ τῶν Ϛβκε· λοιπὰ ϚασϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ λϚ· τοσούτων ὀργυιῶν ἡ κάθετος.
[27] τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται ὀργυιαὶ κ πρὸς τῇ μιᾷ· ταύτας πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς λϚ τῆς καθέτου· γίνονται ψνϚ· καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀξυγωνίου τριγώνου ὀργυιῶν ψνϚ. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται γ Ϛ΄ δ΄ μ΄ σ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ Ϛ΄ λιτρῶν ια καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
[28] Τρίγωνον σκαληνὸν ἀμβλυγώνιον, οὗ τὸ μικρὸν σκέλος σχοινίων ι, τὸ δὲ μεῖζον σχοινίων ιζ, βάσις σχοινίων κα, τοῦ μείζονος τμήματος ἡ βάσις σχοινίων ιε, τοῦ δὲ ἐλάττονος σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων η· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται ι Ϛ΄· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς καθέτου· γίνονται πδ· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου σχοινίων πδ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μβ.
[29] Ἕτερον τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν μείζων πλευρὰ σχοινίων κ, ἡ δὲ ἐλάττων πλευρὰ σχοινίων ιε, ἡ δὲ βάσις σχοινίων κε, τοῦ μείζονος τμήματος ἡ βάσις σχοινίων ιϚ, τοῦ δὲ ἐλάττονος θ, ἡ δ' ἀμφοτέρων ὀρθὴ σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ τῆς καθέτου ιβ ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιβ Ϛ΄· γίνονται ρν· καὶ ἔστιν αὐτοῦ τοῦ παντὸς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρν. ὧν Ϛ΄ γίνεται οε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
[30]
Τρίγωνον οἱονδηποτοῦν μετρήσεις οὕτως· οἷον ἔστω τριγώνου ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοινίων ιγ, ἡ δὲ σχοινίων ιδ, ἡ δὲ σχοινίων ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ ιγ καὶ τὰ ιδ καὶ τὰ ιε· γίνονται μβ· τούτων τὸ Ϛ΄ κα· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰς τρεῖς πλευρὰς κατὰ μίαν, τουτέστιν ἄφελε τὰ ιγ, λοιπὰ η, καὶ τὰ ιδ, λοιπὰ ζ, καὶ τὰ ιε, λοιπὰ Ϛ. πολυπλασίασον οὖν δι' ἀλλήλων· τὰ κα ἐπὶ τὰ η· γίνονται ρξη· ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται ϚαροϚ· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται ϚζνϚ· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται πδ· τοσούτων σχοινίων γίνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
[31] Ἄλλως. ἔστω τῶν πλευρῶν ἡ μὲν ιγ, ἡ δὲ ιδ, ἡ δὲ ιε· ὁμοῦ μβ· τούτων Ϛ΄ κα· ὑφαίρει ἀπὸ τῶν κα τὰ ιγ· λοιπὰ η· καὶ τὰ ιδ· λοιπὰ ζ· καὶ τὰ ιε· λοιπὰ Ϛ. ποίει τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται μβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ η· γίνονται τλϚ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κα· γίνονται ϚζνϚ· τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πδ· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ἰσοπλεύρου καὶ ἐπὶ ἰσοσκελοῦς καὶ ἐπὶ σκαληνοῦ καὶ ὀρθογωνίου πάντοτε ποιοῦμεν.
[32] Τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιβ καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ε, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει ὡς κατὰ τὴν προγραφεῖσαν ἔφοδον. ἕνωσον οὖν τὰς τρεῖς πλευράς· καὶ γίνονται λ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιε. αὐτῶν τῶν ιε παρέκβαλε ἑκάστην πλευράν, τὰ ιβ, λοιπὰ γ, τὰ ε, λοιπὰ ι, τὰ ιγ, λοιπὰ β· καὶ σύνθες τὰς ἀπολοιπασίας πάσας, τουτέστι τὰ γ, τὰ ι καὶ τὰ β· γίνονται ιε. ταῦτα ἐπὶ τὰ β· γίνονται λ· καὶ τὰ λ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται · καὶ τὰ ἐπὶ τὰ ι· γίνονται Ϡ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ. καὶ ἐπὶ παντὸς δὲ τριγώνου ἡ μέθοδος αὕτη ἰσχύει.
[33] Τρίγωνον ἀμβλυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων θ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἀμβλεῖα πλευρὰ σχοινίων ι, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ιζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· παρεκβεβλήσθω ἡ βάσις, καὶ ἤχθω ἐπὶ τὴν ἐκβληθεῖσαν εὐθεῖαν κάθετος, καὶ γενέσθω τρίγωνον ὀρθογώνιον. πρῶτον οὖν δεῖ εὑρεῖν, πόσων σχοινίων ἐστὶν ἡ ἐκβληθεῖσα εὐθεῖα, καὶ πόσων ἡ [34] κάθετος. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· τὰ ιζ τῆς ὑποτεινούσης ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σπθ· ἐξ ὧν ἔκβαλε τὰ θ τῆς βάσεως γενόμενα ἐφ' ἑαυτὰ πα καὶ τὰ ι τῆς ἀμβλείας πλευρᾶς γενόμενα ἐφ' ἑαυτὰ ρ· ὁμοῦ ρπα· λοιπὰ ρη· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται νδ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ θ τῆς βάσεως· γίνονται Ϛ· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων ἡ ἐκβληθεῖσα.
[35] καὶ ἐγένετο τὸ ἓν τρίγωνον τὸ ἐπιβληθέν, οὗ ἡ βάσις σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ ἀμβλεῖα σχοινίων ι, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων η· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐπιβληθέντος τριγώνου. ποίει οὕτως· τὰ Ϛ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ η τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται μη· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται κδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ.
[36] τοῦ δὲ ὅλου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. σύνθες τὰ προϋπάρχοντα θ τῆς βάσεως καὶ τὰ παρεκβληθέντα Ϛ· γίνονται ιε· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ η τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ ἥμισυ ξ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τριγώνου.
[37] Ἐὰν δὲ θέλῃς διαστεῖλαι καὶ γνῶναι ἰδίως τοῦ τε μείζονος καὶ ἐλάττονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· τὰ Ϛ τῆς παρεκβληθείσης εὐθείας ἐπὶ τὰ η τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται μη· ὧν τὸ Ϛ΄ κδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἥττονος τμήματος τοῦ τριγώνου. δῆλον δέ, ὅτι τὸ ὑπολιμπανόμενον ἀπὸ τοῦ ὅλου τριγώνου τοῦ ἀπὸ τῶν ἑξήκοντα σχοινίων ἔσται τοῦ μείζονος τμήματος, ὅ ἐστι σχοινίων λϚ.
[38] Ἄλλως τὸ αὐτὸ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον. πολυπλασιάζω τὰ ιζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σπθ· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ι ἐφ' ἑαυτὰ γενόμενα ρ· λοιπὰ ρπθ. ταῦτα μερίζω ἐπὶ τὰ θ τῆς βάσεως· γίνονται κα· προστιθῶ τὰ θ τῆς βάσεως· γίνονται λ· ὧν τὸ Ϛ΄ ιε. ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ θ τῆς βάσεως· λοιπὰ Ϛ· ἔσται ἡ ἀπολαμβανομένη [39] ὑπὸ τῆς καθέτου σχοινίων Ϛ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· καὶ τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ λϚ· λοιπὰ ξδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται η· ταῦτα τῆς προβληθείσης [40] καθέτου. καὶ πολυπλασιάζω τὰ η ἐπὶ τὰ θ τῆς βάσεως· γίνονται οβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λϚ· τοσούτων ἔσται σχοινίων μετὰ τὴν παρεκβληθεῖσαν προσθήκην τοῦ τριγώνου τὸ προκείμενον ἀμβλυγώνιον, ἀμφότερα δηλονότι σχοινίων ξ, χωριζόμενα τὸ μὲν μεῖζον ἀμβλυγώνιον σχοινίων λϚ, τὸ δὲ ἔλαττον τῆς προσαγομένης ψήφου τριγώνου ὀρθογωνίου σχοινίων κδ.
[41] [Ἐν δὲ τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφ' ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ.
[42] Δεῖ γινώσκειν, ὅτι ἡ ὀργυιὰ ἔχει σπιθαμὰς θ δ΄ ἢ παλαιστὰς κη ἐχούσης τῆς πρώτης παλαιστῆς προσθήκην κόνδυλον. καὶ ἄλλως· ἀνὴρ μέσος μήτε κοντὸς μήτε μακρὸς σταθεὶς ὄρθιος ἐκτεινάτω τὴν δεξιὰν αὑτοῦ χεῖρα ἄνω, καὶ ἔνθα ἂν φθάσῃ τὰ ἄκρα τῶν δακτύλων αὐτοῦ, ἐκεῖ ἐστι μέτρον δικαίας ὀργυιᾶς. καὶ ἄλλως. λαβὼν σχοινίον ἢ κάλαμον ὁ τῆς μέσης ἡλικίας ἀνὴρ πατησάτω τὴν ἄκραν ἐν τοῖς δακτύλοις τοῦ ποδὸς αὑτοῦ· εἶτα ἀναβιβασάτω τὸ σχοινίον ἄχρι τοῦ ὤμου αὑτοῦ, εἶθ' οὕτως καμψάτω τοῦτο ὄπισθεν ἄχρι τοῦ κώλου αὑτοῦ, καὶ ποιήσει ὀργυιὰν πάνυ δικαιοτάτην.]
[43] Δοθέντος τριγώνου ἰσοσκελοῦς, οὗ ἡ βάσις σχοινίων ιβ, ἡ κάθετος σχοινίων η, καὶ τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μη, καὶ ἐντὸς τοῦ τοιούτου τριγώνου τετραγώνου ἰσοπλεύρου ἐγγραφομένου εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου. ποίει οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον τοῦ τριγώνου ἤγουν ιβ καὶ η· γίνονται κ. εἶτα πολυπλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η· γίνονται Ϛ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ συναμφότερα ἤγουν παρὰ τὰ κ· γίνονται δ Ϛ΄ ε΄ ι΄ ἤτοι δ καὶ δ ε΄ ε΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου.
[44] ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κγ κε΄. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· δ δ ιϚ· δ τὰ δ ε΄ ε΄ ιϚ ε΄ ε΄· καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν δ μονάδων ιϚ ε΄ ε΄· καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν δ ε΄ ε΄ ιϚ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ε΄ ε΄ γ καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὁμοῦ μονάδες ιϚ καὶ ε΄ ε΄ λε καὶ ε΄ τὸ ε΄. τὰ λε ε΄ ε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ πέντε γίνονται μονάδες ζ καὶ προστίθενται ταῖς λοιπαῖς ιϚ· μένει δὲ καὶ ε΄ τὸ ε΄· καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας κγ καὶ ε΄ τὸ ε΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου.
[45] Τῶν κάτωθεν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ τῆς ὅλης βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τὰ δ Ϛ΄ ε΄ ι΄, τουτέστι τὰ δ καὶ δ ε΄ ε΄· λοιπὰ ζ ε΄ τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται γ Ϛ΄ ι΄ ἤτοι γ καὶ γ ε΄ ε΄· τοσούτων σχοινίων ἡ βάσις ἑκάστου [46] ὀρθογωνίου τριγώνου. ἡ δὲ κάθετος ἑκάστου τούτων ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν σχοινίων δ Ϛ΄ ε΄ ι΄· τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται β γ΄ ιε΄ ἤτοι β καὶ ε΄ ε΄ β. ταῦτα ἐπὶ τὴν βάσιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου πολυπλασιαζόμενα ἤγουν ἐπὶ τὰ γ καὶ γ ε΄ ε΄ γίνονται η Ϛ΄ ι΄ κε΄ [47] ἤτοι μονάδες η ε΄ ε΄ γ καὶ ε΄ τὸ ε΄. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς οὕτως· β γ Ϛ· καὶ δὶς τὰ γ ε΄ ε΄ Ϛ ε΄ ε΄· καὶ β ε΄ ε΄ τῶν γ μονάδων Ϛ ε΄ ε΄· καὶ β ε΄ ε΄ τῶν γ ε΄ ε΄ Ϛ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ε΄ α καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὁμοῦ μονάδες Ϛ ε΄ ε΄ ιγ καὶ ε΄ τὸ ε΄· τὰ ιγ ε΄ ε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ ε γίνονται μονάδες β καὶ ε΄ ε΄ γ, καὶ προστίθενται ταῖς Ϛ μονάσι· μένει δὲ καὶ ε΄ τὸ ε΄· καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας η ε΄ ε΄ γ καὶ ε΄ τὸ ε΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τῶν τοιούτων ὀρθογωνίων τριγώνων, ἀμφοτέρων δὲ τὸ ἐμβαδὸν γίνεται ιζ ε΄ καὶ β ε΄ τοῦ ε΄ ἤτοι σχοινίων ιζ ε΄ α καὶ δύο ε΄ τὸ ε΄.
[48] Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῆς καθέτου τοῦ ὅλου τριγώνου τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν ἤγουν τὰ δ Ϛ΄ ε΄ ι΄· λοιπὰ γ ε΄· ταῦτα ἡ κάθετος τοῦ ἄνωθεν τριγώνου. ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τὰ δ Ϛ΄ ε΄ ι΄. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται β γ΄ ιε΄ ἤτοι β καὶ β ε΄ ε΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ γ ε΄ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται ζ Ϛ΄ ι΄ ιε΄ οε΄ [49] ἤτοι μονάδες ζ ε΄ ε΄ γ καὶ β ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄. ὁ δὲ πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· β γ Ϛ· καὶ β τὸ ε΄ β ε΄ ε΄· καὶ β ε΄ ε΄ τῶν γ μονάδων Ϛ ε΄ ε΄· καὶ β ε΄ ε΄ τοῦ α ε΄ β ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ὁμοῦ μονάδες Ϛ ε΄ ε΄ η καὶ β ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· τὰ η ε΄ ε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ πέντε γίνεται μονὰς μία καὶ γ ε΄ ε΄· καὶ προστίθεται ταῖς λοιπαῖς Ϛ μονάσιν· μένουσι δὲ καὶ β ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας ζ ε΄ ε΄ γ καὶ β ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν [50] ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ὁμοῦ τῶν ὅλων τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πάλιν σχοινίων μη. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· καὶ ἔσται ὁ τόπος τοῦ παντὸς τριγώνου μοδίων κδ.
[51] Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ βάσις μονάδων ιϚ, ἡ δὲ κάθετος μονάδων ιβ, τὸ δὲ ἐμβαδὸν μονάδων Ϛ· εὑρεῖν ἐντὸς τοῦ τοιούτου τριγώνου τετράγωνον ἰσόπλευρον. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· γίνονται κη· εἶτα πολυπλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστιν τὰ ιϚ ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται ρβ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ κη· γίνονται Ϛ ΄ ζ΄ κα΄ ἤτοι μονάδες Ϛ καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄ τῆς μονάδος· τοσούτου [52] ἀριθμοῦ ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μζ μθ΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· Ϛ Ϛ λϚ· καὶ ἑξάκις τὰ Ϛ ζ΄ ζ΄ λϚ ζ΄ ζ΄· καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄ τῶν Ϛ μονάδων λϚ ζ΄ ζ΄· καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄ τῶν Ϛ ζ΄ ζ΄ λϚ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ζ΄ ζ΄ ε καὶ ζ΄ τοῦ ζ΄· ὁμοῦ μονάδες λϚ ζ΄ ζ΄ οζ, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ια, καὶ ζ΄ τοῦ ζ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες μζ καὶ ζ΄ τοῦ ζ΄ ἤγουν μθ΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου.
[53] Τῶν ἔνθεν κἀκεῖθεν τοῦ τετραγώνου δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ἡνωμένως εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ὀκτὼ μέρισον παρὰ τὰ ιβ τῆς καθέτου· γίνεται ΄· τὸ ΄ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τῶν Ϛ μονάδων καὶ τῶν Ϛ ζ΄ ζ΄· γίνονται μονάδες δ καὶ δ ζ΄ ζ΄· αἱ δ μονάδες καὶ τὰ δ ζ΄ ζ΄ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευράν, ἥτις κάθετός ἐστι τῶν τοιούτων δύο τριγώνων, τουτέστιν ἐπὶ τὰς Ϛ μονάδας καὶ τὰ Ϛ ζ΄ ζ΄, γίνονται μονάδες λ πρὸς τῇ μιᾷ ζ΄ ζ΄ β καὶ γ ζ΄ ζ΄ [54] τῶν ζ΄ ζ΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· δ Ϛ κδ· καὶ δ τὰ Ϛ ζ΄ ζ΄ κδ ζ΄ ζ΄· καὶ δ ζ΄ ζ΄ τῶν Ϛ μονάδων κδ ζ΄ ζ΄· καὶ δ ζ΄ ζ΄ τῶν Ϛ ζ΄ ζ΄ κδ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ζ΄ ζ΄ γ καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· ὁμοῦ μονάδες κδ ζ΄ ζ΄ να, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ζ καὶ β ζ΄ ζ΄, καὶ τρία ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες λα καὶ ζ΄ ζ΄ β καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων.
[55] Διῃρημένως δὲ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τοῦ ἀριθμοῦ τῆς βάσεως, τουτέστιν ἀπὸ τῶν ιϚ μονάδων, τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς, ὅς ἐστι μονάδες Ϛ καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄· λοιπαὶ μονάδες θ καὶ ζ΄ τῆς μονάδος. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται μονάδες δ καὶ δ ζ΄ ζ΄ τῆς μονάδος· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ βάσις ἑνὸς [56] ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου. ἡ δὲ κάθετος, τουτέστιν ἡ πρὸς ὀρθάς, κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤτοι μονάδων Ϛ καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται μονάδες γ καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῆς μονάδος· ταῦτα ἐπὶ τὴν βάσιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου πολυπλασιαζόμενα γίνονται μονάδες ιε δ ζ΄ ζ΄ [57] καὶ ε ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· γ δ ιβ· καὶ γ τὰ δ ζ΄ ζ΄ ιβ ζ΄ ζ΄· καὶ δ ζ΄ ζ΄ τῶν γ μονάδων ιβ ζ΄ ζ΄· καὶ δ ζ΄ ζ΄ τῶν γ ζ΄ ζ΄ ιβ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ζ΄ ἓν καὶ ε ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· ὁμοῦ μονάδες ιβ ζ΄ ζ΄ κε, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες γ καὶ δ ζ΄ ζ΄, καὶ ε ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες ιε ζ΄ ζ΄ δ καὶ ε ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· τοσούτων τὸ [58] ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου. ταῦτα δίς· γίνονται μονάδες λ πρὸς τῇ μιᾷ ζ΄ ζ΄ β καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τῶν β ὀρθογωνίων τριγώνων.
[59] Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῆς καθέτου τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν ἤγουν μονάδας Ϛ ΄΄ ζ΄ κα΄· λοιπαὶ μονάδες ε ζ΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἡ κάθετος τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤτοι μονάδων Ϛ καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται μονάδες γ καὶ γ ζ΄ ζ΄· ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ ε ζ΄ τῆς καθέτου γίνονται μονάδες ιζ ζ΄ ζ΄ δ καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄. [60] πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· γ ε ιε· καὶ γ τὸ ζ΄ γ ζ΄ ζ΄· καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ε μονάδων ιε ζ΄ ζ΄· καὶ γ ζ΄ ζ΄ τοῦ ζ΄ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· ὁμοῦ μονάδες ιε ζ΄ ζ΄ ιη, γινόμενα μονάδες β καὶ δ ζ΄ ζ΄, καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες ιζ δ ζ΄ ζ΄ καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου.
[61] Ἄρτι σύνθες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν μονάδας μζ καὶ ζ΄ τοῦ ζ΄, ὁμοίως καὶ τὸ ἐμβαδὸν τῶν κάτωθεν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων ἤγουν μονάδας λ πρὸς τῇ μιᾷ ζ΄ ζ΄ β καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄, ὡσαύτως καὶ τὸ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἤγουν μονάδας ιζ ζ΄ ζ΄ δ καὶ γ ζ΄ ζ΄ τῶν ζ΄ ζ΄· καὶ εὑρήσεις πάλιν τὸ [62] τῶν ὅλων τμημάτων ἐμβαδὸν μονάδας Ϛ. αἱ τοιαῦται Ϛ μονάδες ἐπὶ μὲν τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ἡμισειαζόμεναι γίνονται μη καὶ δηλοῦσι τὴν τοῦ μοδισμοῦ ποσότητα, ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τῶν ε γίνονται ιθ ε΄ καὶ δηλοῦσι τὴν τῶν λιτρῶν ποσότητα, ὡς εἶναι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπὶ μὲν τῶν σχοινίων μοδίων μη, ἐπὶ δὲ τῶν ὀργυιῶν λιτρῶν ιθ ε΄.
[63] Ἕτερον τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ βάσις μονάδων ιζ, ἡ δὲ κάθετος μονάδων ιε, τὸ δὲ ἐμβαδὸν μονάδων ρκζ Ϛ΄· εὑρεῖν ἐντὸς τοῦ τοιούτου τριγώνου τετράγωνον ἰσόπλευρον. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον ἤγουν ιζ καὶ ιε· γίνονται λβ· εἶτα πολυπλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι ιζ ἐπὶ ιε· γίνονται σνε. ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ λβ· γίνονται ζ Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄ λβ΄ ἤτοι μονάδες ἑπτὰ καὶ λα λβ΄ λβ΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες ξγ Ϛ΄ καὶ λβ΄ τὸ λβ΄ ἤτοι [64] Ϛακδ΄ τῆς μονάδος. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· ζ ζ μθ· καὶ ἑπτάκις τὰ λα λβ΄ λβ΄ σιζ λβ΄ λβ΄· καὶ λα λβ΄ λβ΄ τῶν ἑπτὰ μονάδων σιζ λβ΄ λβ΄· καὶ λα λβ΄ λβ΄ τῶν λα λβ΄ λβ΄ Ϡξα λβ΄ λβ΄ τῶν λβ΄ λβ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα λβ΄ λβ΄ τριάκοντα καὶ λβ΄ τὸ λβ΄· ὁμοῦ μονάδες τεσσαρακονταεννέα λβ΄ λβ΄ υξδ καὶ λβ΄ τὸ λβ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ιδ Ϛ΄ καὶ λβ΄ τὸ λβ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες ξγ Ϛ΄ καὶ λβ΄ τὸ λβ΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου.
[65] Τῶν ἔνθεν κἀκεῖθεν τοῦ τετραγώνου δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως τὸν ἀριθμὸν τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν μονάδας ζ καὶ λα λβ΄ λβ΄· καὶ εὑρήσεις τὰς βάσεις τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων μονάδων ἐννέα καὶ λεπτοῦ λβ΄ ἑνός. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται μονάδες δ καὶ λγ ξδ΄ ξδ΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου.
[66] Ἄλλως ἡ μέθοδος εἰς τὸ αὐτό. λαβὲ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης βάσεως τοῦ τριγώνου· γίνονται μονάδες ὀκτὼ ἥμισυ. ταύτας μέρισον παρὰ τὰς ιε τῆς καθέτου· γίνεται Ϛ΄ ιε΄· τὸ Ϛ΄ ιε΄ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤγουν τῶν ἑπτὰ μονάδων καὶ λα λβ΄ λβ΄ γίνονται μονάδες δ καὶ λγ ξδ΄ ξδ΄.
[67] Αἱ τέσσαρες μονάδες καὶ τὰ λγ ξδ΄ ξδ΄ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὴν τοῦ τετραγώνου πλευράν, ἥτις κάθετός ἐστι τῶν τοιούτων δύο ὀρθογωνίων τριγώνων, τουτέστιν ἐπὶ τὰς ἑπτὰ μονάδας καὶ τὰ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄, γίνονται μονάδες λε ξδ΄ ξδ΄ ἑξηκονταδύο καὶ [68] ξβ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· δ ζ κη· καὶ τετράκις τὰ ξβ ξδ΄ ξδ΄ σμη ξδ΄ ξδ΄· καὶ λγ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ἑπτὰ μονάδων σλα ξδ΄ ξδ΄· καὶ λγ ἑξηκοστοτέταρτα τῶν ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ βμϚ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ξδ΄ ξδ΄ λα καὶ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄· ὁμοῦ μονάδες κη ἑξηκοστοτέταρτα πεντακόσια δέκα καὶ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ἑπτὰ ἑξηκοστοτέταρτα ξβ καὶ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες λε ξδ΄ ξδ΄ ξβ καὶ ξβ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ἑξηκοστοτετάρτων· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων.
[69] Τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἄφελε ἀπὸ τῆς ὅλης καθέτου τὴν τοῦ τετραγώνου πλευρὰν ἤγουν μονάδας ἑπτὰ καὶ λα λβ΄ λβ΄· λοιπαὶ μονάδες ἑπτὰ καὶ λβ΄ τῆς μονάδος, ὅ ἐστιν ἑξηκοστοτέταρτα δύο· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου. ἡ δὲ βάσις τούτου κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ ἀριθμοῦ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ἤτοι μονάδων ἑπτὰ καὶ λα λβ΄ λβ΄. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται μονάδες γ καὶ ξγ ἑξηκοστοτέταρτα. αἱ τρεῖς μονάδες καὶ τὰ ξγ ξδ΄ ξδ΄ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰς ἑπτὰ μονάδας καὶ τὰ δύο ξδ΄ ξδ΄ γίνονται μονάδες εἰκοσιοκτὼ καὶ ξβ ξδ΄ ξδ΄ [70] τῶν ξδ΄ ξδ΄. πολυπλασιάζονται δὲ οὕτως· γ ζ κα· καὶ γ τὰ β ξδ΄ ξδ΄ Ϛ ξδ΄ ξδ΄· καὶ ξγ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ἑπτὰ μονάδων υμα ξδ΄ ξδ΄· καὶ ξγ ξδ΄ ξδ΄ τῶν δύο ξδ΄ ξδ΄ ρκϚ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ἑξηκοστοτέταρτον α καὶ ξβ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄· ὁμοῦ μονάδες κα ξδ΄ ξδ΄ υμη, γινόμενα καὶ ταῦτα μονάδες ἑπτά, καὶ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ τῶν ἑξηκοστοτετάρτων, ἤτοι τὰ ὅλα μονάδες εἰκοσιοκτὼ καὶ ἑξηκονταδύο ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου.
[71] Ἄρτι σύνθες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν μονάδας ξγ Ϛ΄ καὶ λβ΄ τὸ λβ΄, ὅ ἐστι τέσσαρα ἑξηκοστοτέταρτα τῶν ἑξηκοστοτετάρτων, ὁμοίως καὶ τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων ἤγουν μονάδας λε ξδ΄ ξδ΄ ξβ καὶ ξβ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ξδ΄ ξδ΄, ὡσαύτως καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἄνωθεν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἤγουν μονάδας κη καὶ ξβ ξδ΄ ξδ΄ τῶν ἑξηκοστοτετάρτων· καὶ εὑρήσεις πάλιν τὸ τῶν ὅλων τμημάτων ἐμβαδὸν μονάδων ἑκατὸν εἰκοσιεπτὰ Ϛ΄.
[72] Ἐπὶ μέντοι τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων διελὼν τὸ ἐμβαδὸν μέσον εὑρήσεις τὸ ὅλον σχῆμα γῆς μοδίων ἑξηκοντατριῶν καὶ ἡμίσεως καὶ τετάρτου ἤτοι μοδίων ξγ καὶ λιτρῶν λ· ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν ὀργυιῶν λαβὼν τὸ ε΄ μέρος τοῦ ἐμβαδοῦ εὑρήσεις τὸν τόπον γῆς λιτρῶν εἰκοσιπέντε Ϛ΄.
[73] Ἑπτὰ εἴδη εἰσὶ τῶν τριγώνων· τὸ ἰσόπλευρον μονοειδές, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον καὶ τὸ σκαληνὸν ὁμοίως.
[74] Οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνου διπλάσιον, ἀλλ' οὐδὲ ἰσόπλευρον τρίγωνον ὀρθογώνιον τὴν ὑποτείνουσαν ἴσην τῶν δύο τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἔχον.
[13]
[1] Σχῆμα ῥόμβου, ὃ ἰσόπλευρον μὲν οὐκ ὀρθογώνιον δέ, μετρεῖται οὕτως· ἔστω σχῆμα ῥόμβου, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ι, ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων ιβ καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων ιϚ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς μιᾶς τῶν διαγωνίων καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν ἑτέραν ὅλην διαγώνιον, τουτέστι τὰ Ϛ ἐπὶ τὰ ιϚ ἢ τὰ η ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων Ϛ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μη.
[2] Ἄλλως εἰς τὸ αὐτὸ σχῆμα. ῥόμβος, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων ι, ἡ δὲ διαγώνιος σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τήν τε κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τῶν ιβ τῆς διαγωνίου τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· καὶ τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ λϚ· λοιπὰ ξδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται η· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ η τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ιβ τῆς βάσεως· γίνονται Ϛ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μη· τοσούτων ἐστὶ σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμίσεως τοῦ ῥόμβου, δηλαδὴ τοῦ ὅλου ῥόμβου ὄντος σχοινίων Ϛ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μη· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου ῥόμβου γῆς μοδίων μη.
[3] Ἕτερον σχῆμα ῥόμβου, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ σχοινίων κε, ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων λ, ἡ δὲ ἑτέρα σχοινίων μ. τὸ Ϛ΄ τῶν λ γίνεται ιε· ταῦτα ἐπὶ τὰ μ· γίνονται χ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων χ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται τ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τ.
[4] Τὸ τοιοῦτον σχῆμα τοῦ ῥόμβου κατὰ μὲν τὴν μίαν τῶν διαγωνίων τεμνόμενον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων λ, ποιεῖ τρίγωνα ἰσοσκελῆ ὀξυγώνια β, κατὰ δὲ τὴν διαγώνιον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων μ, ποιεῖ τρίγωνα ἀμβλυγώνια β. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τῶν ὀξυγωνίων τριγώνων σχοινίων λ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων κε. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ιε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε· καὶ τὰ κε τῆς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· τὰ σκε ἀφαίρει ἀπὸ τῶν χκε· λοιπὰ υ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται κ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ ιε γίνονται τ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων τ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ρν· καὶ εἰσὶ τὰ ἀμφότερα ἀνὰ γῆς μοδίων ρν.
[5] Πάλιν ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων μ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων κε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ κ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν χκε· λοιπὰ σκε· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιε· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ κ γίνονται τ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τ. πάλιν τὸ Ϛ΄ τῶν τ· γίνονται ρν· καὶ ἔστιν ἓν ἕκαστον τῶν τριγώνων γῆς μοδίων ρν. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων χ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται τ· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου ῥόμβου γῆς μοδίων τ.
[6] Ῥόμβος, οὗ τὰ σκέλη ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ διαγώνιος σχοινίων ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω κάθετος διατέμνουσα τὴν διαγώνιον· ἡ δὲ ἀχθεῖσα ἔχει σχοινία κδ· καὶ γεγόνασι β μετρήσεις τριγώνων ἰσοσκελῶν, ὧν τὰ σκέλη ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ι, ἡ δὲ κάθετος ἑκάστου ἀνὰ σχοινίων ιβ, ὡς γίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου σχοινίων ξ, τοῦ ὅλου ῥόμβου ὄντος δηλαδὴ σχοινίων ρκ ἤτοι γῆς μοδίων ξ.
[14]
[1] Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον μετρεῖται οὕτως· ἔστω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων ὀκτώ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. πολυπλασίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος ἤγουν τὰ γ ἐπὶ τὰ η· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων κδ. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιβ.
[2] Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὰ μὲν μήκη ἀνὰ σχοινίων ιη, τὰ δὲ πλάτη ἀνὰ σχοινίων ιβ. τὰ ιη τοῦ μήκους πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ πλάτους γίνονται σιϚ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου παραλληλογράμμου σχοινίων σιϚ. ὧν τὸ Ϛ΄ ρη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ρη.
[3] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς διάφορα εἴδη τριγώνων, εἰς ἓν ὀξυγώνιον ἰσοσκελές, εἰς β σκαληνὰ ὀρθογώνια καὶ εἰς β ἀμβλυγώνια σκαληνὰ καὶ αὐτά. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων ιη, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ιε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε· καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ θ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν σκε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ιβ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως, τουτέστιν ἐπὶ τὰ θ, γίνονται ρη· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται νδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων νδ.
[4] Ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ε, ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιβ καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων ιγ. τὸ Ϛ΄ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἤγουν τὰ Ϛ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ πέντε τῆς κορυφῆς ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου γίνονται λ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων λ. ὧν Ϛ΄ γίνεται ιε· καὶ ἔστιν γῆς μοδίων ιε.
[5] Ἡ ἐλάσσων πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων δ, ἡ δὲ μείζων σχοινίων ιγ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε· τὰ ιγ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ· τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. συντιθῶ τὰ σκε καὶ τὰ ρξθ· γίνονται τδ· ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ ιϚ· λοιπὰ τοη· ὧν Ϛ΄ ρπθ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ ιε τῆς βάσεως· γίνονται ιβ Ϛ΄ ι΄ ἤτοι μονάδες ιβ καὶ ε΄ ε΄ γ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ μείζων ἀποτομὴ [τῆς βάσεως]. ὁμοίως συντιθῶ τὰ σκε καὶ τὰ ιϚ· γίνονται σμα· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ρξθ· λοιπὰ οβ· ὧν Ϛ΄ γίνεται λϚ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ ιε τῆς βάσεως· γίνονται β γ΄ ιε΄ ἤτοι μονάδες β καὶ ε΄ ε΄ β· ἔσται οὖν καὶ ἡ ἐλάττων βάσις σχοινίων β [6] καὶ ε΄ ε΄ β. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται μονάδες ε καὶ ε΄ ε΄ γ καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν ιϚ· λοιπαὶ μονάδες ι ε΄ ἓν καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται γ ε΄· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. πάλιν τὰ ιβ καὶ γ ε΄ ε΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες ρνη ε΄ ε΄ γ καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπαὶ μονάδες δέκα ε΄ α καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὁμοίως γ ε΄· καὶ ἔσται ἡ κάθετος γ ε΄. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ ιε τῆς βάσεως· γίνονται μη· ὧν Ϛ΄ γίνεται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων κδ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων ιβ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν ὅλων τμημάτων σχοινίων σιϚ, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων ρη.
[7] Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἕτερον, οὗ αἱ μὲν β πλευραὶ τοῦ πλάτους ἀνὰ ὀργυιῶν λϚ, αἱ δὲ δύο τοῦ μήκους ἀνὰ ὀργυιῶν μη. αἱ λϚ τῆς μιᾶς τῶν τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς μη τῆς μιᾶς τῶν τοῦ μήκους ποιοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ὀργυιῶν Ϛαψκη. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται η Ϛ΄ ι΄ κε΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων η Ϛ΄ λιτρῶν ε καὶ ὀργυιῶν γ.
[8] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ῥόμβον καὶ δ τρίγωνα ὀρθογώνια. αἱ δ πλευραὶ τοῦ ῥόμβου ἀνὰ ὀργυιῶν λ, ἡ μία τῶν διαγωνίων ὀργυιῶν λϚ καὶ ἡ ἑτέρα ὀργυιῶν μη· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς μιᾶς διαγωνίου ἐπὶ τὴν ἑτέραν ὅλην διαγώνιον ἤγουν τὰς ιη ἐπὶ τὰς μη· γίνονται ωξδ· τοσούτων ὀργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται δ δ΄ κ΄ ν΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων δ λιτρῶν ιβ καὶ ὀργυιῶν δ.
[9] Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν ιη, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ὀργυιῶν κδ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ὀργυιῶν λ. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν αἱ ἐννέα ὀργυιαὶ πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς κδ τῆς πρὸς ὀρθὰς ποιοῦσιν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν σιϚ ἤτοι γῆς μοδίου α λιτρῶν γ καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ τῶν ὅλων τμημάτων ἐμβαδὸν ἤγουν τῶν δ ὀρθογωνίων τριγώνων καὶ τοῦ ῥόμβου ὀργυιῶν Ϛαψκη, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων η Ϛ΄ λιτρῶν ε καὶ ὀργυιῶν γ.
[10] Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἕτερον, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων η, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ η τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ μήκους· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων Ϛ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τεσσαρακονταοκτώ.
[11] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ἕτερα παραλληλόγραμμα τέσσαρα ὀρθογώνιά τε καὶ στενοεπιμήκη. τὸ πλάτος ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων η. τὰ τρία τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τμήματος σχοινίων κδ ἤτοι γῆς μοδίων ιβ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν δ τμημάτων σχοινίων Ϛ, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων μη.
[12] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ἕτερα παραλληλόγραμμα ὀρθογώνια ὀκτώ. τὸ πλάτος ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων τριῶν, τὸ δὲ μῆκος σχοινίων τεσσάρων. τὰ γ τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ δ τοῦ μήκους γίνονται ιβ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων ιβ ἤτοι γῆς μοδίων Ϛ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν ὀκτὼ τμημάτων σχοινίων ἐνενηκονταὲξ ἤτοι γῆς μοδίων μη.
[13] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὀξυγώνιον καὶ εἰς ἕτερα β ὀρθογώνια σκαληνά. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων ιβ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι· εὑρεῖν τὴν κάθετον. πολυπλασίασον τὴν μίαν τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρ· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ. ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ρ· λοιπὰ ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ η· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. εἶτα λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται Ϛ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ η· γίνονται μη· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου. ὧν Ϛ΄ γίνεται κδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κδ.
[14] Ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ι. τὸ Ϛ΄ τῆς κορυφῆς ἑνὸς ἑκάστου αὐτῶν ἤγουν τὰ γ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ η τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται κδ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων κδ ἤτοι γῆς μοδίων ιβ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τὸ ἐμβαδὸν τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου καὶ τῶν ἑτέρων β ὀρθογωνίων τριγώνων σχοινίων Ϛ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μη.
[15] Ἰστέον, ὅτι τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς δύο ὀρθογωνίοις τριγώνοις· καὶ γὰρ καὶ αὐτὸ τεμνόμενον κατὰ κάθετον ἕτερα δύο ἰσόμετρα ἀποτελεῖ τρίγωνα ὀρθογώνια.
[16] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ τεμνόμενον εἰς ῥόμβου σχῆμα καὶ εἰς τρίγωνα ἰσοσκελῆ Ϛ, ἐξ ὧν τὰ δ ὀξυγώνια, τὰ δὲ β ἀμβλυγώνια. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων Ϛ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ε. τὰ ε τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ γ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται θ· ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν κε· λοιπὰ ιϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ δ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου τούτων. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ γ γίνονται ιβ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου ὀξυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ιβ.
[17] Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων η, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ε. τὰ ε τῆς α πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ταῦτα ὑπέξαιρε ἀπὸ τῶν κε· λοιπὰ θ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ τρία· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος ἑνὸς ἑκάστου τούτων. ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ δ γίνονται ιβ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ιβ.
[18] Ἰστέον δέ, ὅτι καὶ τὰ τοιαῦτα ἀμβλυγώνια ἴσα εἰσὶ τοῖς προγραφεῖσιν ὀξυγωνίοις τριγωνίοις.
[19] Αἱ δ πλευραὶ τοῦ ῥόμβου ἀνὰ σχοινίων ε, ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων Ϛ καὶ ἡ ἑτέρα σχοινίων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς μιᾶς τῶν διαγωνίων ἐπὶ τὴν ἑτέραν ὅλην διαγώνιον ἤγουν τὰ γ ἐπὶ τὰ η· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥόμβου σχοινίων κδ.
[20] Τὸ τοιοῦτον σχῆμα τοῦ ῥόμβου κατὰ μὲν τὴν α τῶν διαγωνίων τεμνόμενον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων Ϛ, ποιεῖ τρίγωνα ἰσοσκελῆ ὀξυγώνια β, κατὰ δὲ τὴν ἑτέραν διαγώνιον, ἧς ἀριθμὸς σχοινίων η, ποιεῖ τὰ τοιαῦτα τρίγωνα ἀμβλυγώνια· ἡ δὲ μέτρησις τούτων προγέγραπται.
[21]
Ὁμοῦ τῶν Ϛ τριγώνων καὶ τοῦ ῥόμβου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων Ϛ, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων μη.
[22] Παραλληλόγραμμον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τρίγωνα ὀρθογώνια ιϚ, ὧν αἱ βάσεις ἢ κορυφαὶ ἀνὰ σχοινίων γ, αἱ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοινίων δ, αἱ δὲ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ε. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων Ϛ, καὶ ὁ μοδισμὸς ἑκάστου τούτων μοδίων τριῶν. ὁμοῦ τῶν ιϚ ὀρθογωνίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πάλιν σχοινίων Ϛ, ὁ δὲ μοδισμὸς τούτων γῆς μοδίων μη.
[23] Τὸ τοιοῦτον παραλληλόγραμμον καὶ μονομερῶς μετρούμενον καὶ εἰς διαφόρους κατατομὰς διαιρούμενον, ὡς δεδήλωται, συστοιχεῖ ἐπὶ πᾶσι κατ' οὐδὲν τῆς ἀληθείας ἐκπίπτον.
[15]
[1] Παραλληλόγραμμον οὐκ ὀρθογώνιον ῥομβοειδὲς δὲ μετρεῖται οὕτως· ἔστωσαν παραλληλογράμμου ῥομβοειδοῦς αἱ μὲν τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων Ϛ, αἱ δὲ ἀνὰ σχοινίων η, ἡ δὲ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων δ· δεῖ γὰρ προστίθεσθαι καὶ μίαν τῶν διαγωνίων. τούτων οὖν ὑποκειμένων εὑρεῖν χρὴ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου. τοῦτο δὲ φανερόν· γεγόνασι γὰρ σκαληνὰ τρίγωνα ἀμβλυγώνια β τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευρῶν, ὧν [2] ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ μείζων πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων δ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ δ τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· καὶ τὰ η τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὁμοῦ π· ἐξ ὧν αἴρω τὰ Ϛ τῆς μείζονος πλευρᾶς γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ λϚ· λοιπὰ μδ· ὧν Ϛ΄ κβ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ η τῆς βάσεως· γίνονται β Ϛ΄ δ΄· ἔσται οὖν ἡ τοῦ ἐλάττονος τμήματος βάσις σχοινίων β Ϛ΄ δ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ζ Ϛ΄ ιϚ΄· ταῦτα αἴρω ἀπὸ τῶν ιϚ· λοιπὰ η δ΄ η΄ ιϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ β ΄ δ΄ ὡς σύνεγγυς· τοσούτων σχοινίων ἡ [3] κάθετος. πάλιν συντιθῶ τὰ η τῆς βάσεως γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ ξδ καὶ τὰ Ϛ τῆς μείζονος πλευρᾶς γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ λϚ· γίνονται ὁμοῦ ρ· ἀφ' ὧν αἴρω τὰ δ τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς γινόμενα ἐφ' ἑαυτὰ ιϚ· λοιπὰ πδ· ὧν Ϛ΄ μβ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὰ ὀκτὼ τῆς βάσεως· γίνονται ε δ΄· ἔσται καὶ ἡ τοῦ μείζονος τμήματος βάσις σχοινίων ε δ΄. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κζ Ϛ΄ ιϚ΄· ταῦτα αἴρω ἀπὸ τῶν λϚ· λοιπὰ η δ΄ η΄ ιϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ὡς ἔγγιστα β ΄ δ΄· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. τὰ β ΄ δ΄ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ δ γίνονται ια ΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου σχοινίων τοσούτων, ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων κγ γ΄. ὧν Ϛ΄ γίνεται ια ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ια καὶ λιτρῶν κϚ ΄.
[4] Ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου σχοινίων η· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται δ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ταῦτα ἐπὶ τὸν τῆς καθέτου πολυπλασιασμὸν ἤγουν ἐπὶ τὰ η δ΄ η΄ ιϚ΄ πολυπλασιαζόμενα γίνονται ρλε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ια Ϛ΄ ιδ΄ κα΄ παρ' ὀλίγον παντελῶς ἤτοι μονάδες ια καὶ λεπτὰ κα΄ κα΄ ιγ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνὸς τριγώνου, ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων κγ ζ΄ ιδ΄ μβ΄. ὧν Ϛ΄ γίνεται ια Ϛ΄ ιδ΄ κα΄ [καὶ ἔστι μοδίων τοσούτων].
Ἡ παροῦσα δὲ μέθοδος ἀκριβεστέρα ἐστὶ τῆς πρώτης.
[5] Ἕτερον ῥομβοειδές, οὗ αἱ μὲν τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων ιβ, αἱ δὲ ἀνὰ σχοινίων ι καὶ ἡ μία τῶν διαγωνίων σχοινίων η· δεῖ γὰρ προστίθεσθαι ἀεὶ ἐπὶ τούτοις διὰ τὸ ἄτακτον καὶ μίαν τῶν διαγωνίων. τούτων δὲ οὕτως ὑποκειμένων γενόνασι δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀξυγώνια τὰ ὑπὸ τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευρῶν περιεχόμενα, ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ ἐλάσσων πλευρὰ ἑνὸς ἑκάστου τούτων σχοινίων η, ἡ δὲ μείζων πλευρὰ σχοινίων ι, ἡ δὲ ὑποτείνουσα βάσις σχοινίων ιβ. τὰ η τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ ι τῆς μείζονος πλευρᾶς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· καὶ τὰ ιβ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· [6] εὑρεῖν τὴν κάθετον. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τὸν τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς ἤγουν τὰ ρμδ καὶ τὰ ξδ· γίνονται ση· ἐξ ὧν λαβὲ τὸν τῆς ἑτέρας πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ ρ· λοιπὰ ρη· ὧν τὸ Ϛ΄ γίνεται νδ. ταῦτα μεριζόμενα παρὰ τὰ ιβ τῆς βάσεως γίνονται δ Ϛ΄· τοσούτων σχοινίων ἡ βάσις τοῦ ἥττονος τμήματος. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται κ δ΄· ταῦτα ὑπέξελε ἀπὸ τοῦ κατὰ τὴν πλευρὰν πολυπλασιασμοῦ ἤγουν ἀπὸ τῶν ξδ· λοιπὰ μγ Ϛ΄ δ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ Ϛ Ϛ΄ ιγ΄ κϚ΄ ἤτοι μονάδες Ϛ καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ ὀκτὼ παρ' ὀλίγον· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος.
[7] ταῦτα ἤγουν τὰ Ϛ καὶ η ιγ΄ ιγ΄ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ Ϛ γίνονται λθ ΄ λθ΄· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς σχοινίων οθ γ΄ κϚ΄ οη΄. ὧν Ϛ΄ γίνεται λθ Ϛ΄ Ϛ΄ λθ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
Ὁμοίως δὲ καὶ ῥόμβος μετρεῖται καὶ τραπέζιον οἱονδήποτε.
[8] Παραλληλόγραμμον ῥομβοειδὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα γ ἤγουν εἰς ἓν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια. αἱ δύο πλάγιοι πλευραὶ τοῦ ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου τῶν προγραφέντων δύο τριγώνων ἤτοι ἀνὰ σχοινίων Ϛ καὶ λεπτῶν ιγ΄ ιγ΄ η, ἡ δὲ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις ἀνὰ σχοινίων δ Ϛ΄· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. πολυπλασίασον τὰ δ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ Ϛ καὶ η ιγ΄ ιγ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλαγίων· γίνονται κθ ΄ ιγ΄ λθ΄ ἤτοι μονάδες κθ καὶ λεπτὰ ιγ΄ ιγ΄ ι· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου.
[9] ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ζ Ϛ΄, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων Ϛ καὶ λεπτῶν ιγ΄ ιγ΄ η. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ γ Ϛ΄ δ΄ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ Ϛ καὶ η ιγ΄ ιγ΄ τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται κδ Ϛ΄ δ΄ κϚ΄ νβ΄· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὁμοῦ τῶν γ τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου καὶ τῶν β ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πάλιν σχοινίων οθ γ΄ κϚ΄ οη΄ ἤγουν γῆς μοδίων λθ ΄ λθ΄.
[10] Ἄλλως εἰς τὸ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου.
Πολυπλασίασον τὰ ιβ τῆς μιᾶς τῶν βάσεων ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς καθέτου ἤγουν ἐπὶ τὰ μγ Ϛ΄ δ΄· γίνονται ϚϚτ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται οθ γ΄ λδ΄ ρβ΄ ἤτοι μονάδες οθ καὶ λεπτὰ πεντηκοστόπρωτα ιθ παρ' ὀλίγον· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ῥομβοειδοῦς παραλληλογράμμου.
[11] Διῃρημένως δὲ ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς μιᾶς τῶν βάσεων ἤγουν τὰ Ϛ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς καθέτου ἤγουν ἐπὶ τὰ μγ Ϛ΄ δ΄· γίνονται Ϛαφοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λθ ΄ να΄ ἤτοι μονάδες λθ καὶ λεπτὰ να΄ να΄ λε· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου· ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων οθ καὶ λεπτῶν να΄ να΄ ιθ.
[12] Εἰ δὲ καὶ εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια διαιρεθῇ τὸ τοιοῦτον ῥομβοειδές, γίνεται ἑνὸς ἑκάστου τμήματος ἡ ἀναμέτρησις οὕτως· ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων δ Ϛ΄, τὰ δὲ β σκέλη κατὰ τὸν προγραφέντα ἀριθμὸν τῆς καθέτου τῶν τριγώνων. τὰ δ Ϛ΄ τῆς μιᾶς τῶν βάσεων πολυπλασιαζόμενα ἐφ' ἑαυτὰ γίνονται κ τέταρτον· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τοῦ ἑνὸς σκέλους ἤγουν ἐπὶ τὰ μγ Ϛ΄ δ΄ γίνονται ωπϚ παρὰ ιϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κθ Ϛ΄ δ΄ ξη΄ ἤτοι μονάδες κθ καὶ λεπτὰ να΄ να΄ λθ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου [13] παραλληλογράμμου. τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ἡνωμένως εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὰ ζ Ϛ΄ τῆς βάσεως τοῦ ἑνὸς ἐφ' ἑαυτά· γίνονται νϚ δ΄· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἐπὶ τὰ μγ Ϛ΄ δ΄· γίνονται Ϛβυξ Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄ ἤτοι μονάδες Ϛβυξ καὶ λεπτὰ ιϚ΄ ιϚ΄ ιε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται μθ Ϛ΄ ιζ΄ λδ΄ να΄ ἤτοι μονάδες μθ καὶ λεπτὰ να΄ να΄ λα· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων.
[14] Διῃρημένως δὲ πάλιν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφευρεῖν. πολυπλασίασον τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιδ ιϚ΄· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸν πολυπλασιασμὸν τῆς πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἐπὶ τὰ μγ Ϛ΄ δ΄· γίνονται χιε η΄ ιϚ΄ λβ΄ ξδ΄ ἤτοι μονάδες χιε καὶ λεπτὰ ξδ΄ ξδ΄ ιε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κδ Ϛ΄ δ΄ να΄ να΄ ξη΄ ἤτοι μονάδες κδ καὶ λεπτὰ πεντηκοστόπρωτα μα. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ ἑνὸς παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου καὶ τῶν δύο ὀρθογωνίων τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων οθ γ΄ λδ΄ ρβ΄ ἤτοι σχοινίων οθ καὶ λεπτῶν να΄ να΄ ιθ [ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός].
[15] Ῥομβοειδές, οὗ τὰ μὲν μείζονα σκέλη ἀνὰ σχοινίων ιδ, τὰ δὲ μικρὰ ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ διαγώνιος σχοινίων ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι, καὶ ἐγένοντο δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀξυγώνια, ὧν αἱ μικρότεραι πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων ιγ, αἱ δὲ μείζους ἀνὰ σχοινίων ιε, αἱ δὲ βάσεις ἀνὰ σχοινίων ιδ, αἱ δὲ κάθετοι ἀνὰ σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὴν βάσιν ἑκάστου ἐπὶ τὴν κάθετον αὐτοῦ· γίνονται ρξη· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου· δῆλον γάρ, ὅτι τοῦ [16] ὅλου ῥομβοειδοῦς ἔσται τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρξη. ἐὰν δὲ θέλῃς πάλιν καὶ ἑκάστου τμήματος τῶν δύο τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν μειζόνων τὰ ιβ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ θ τῆς βάσεως· γίνονται ρη· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται νδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἑκάστου τριγώνου τμῆμα τὸ μεῖζον. τῶν δὲ ἡττόνων ὁμοίως τὰ ιβ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ε τῆς βάσεως· γίνονται ξ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἑκάστου τριγώνου τὸ ἧττον τμῆμα τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς ὄντος δηλαδὴ σχοινίων ρξη.
[17] Ἕτερον ῥομβοειδές, οὗ αἱ μὲν μείζονες τῶν πλευρῶν ἀνὰ ὀργυιῶν κδ, αἱ δὲ ἥττονες ἀνὰ ὀργυιῶν ιε, καὶ ἡ μία τῶν διαγωνίων ὡσαύτως· τέμνεται δὲ τὸ τοιοῦτον κατὰ τὴν ῥηθεῖσαν διαγώνιον καὶ ποιεῖ τρίγωνα ἰσοσκελῆ ἀμβλυγώνια β· πῶς δὲ χρὴ μετρεῖν τὰ τοιαῦτα τρίγωνα, ἐν πολλοῖς προγέγραπται, χάριν δὲ καταλήψεως πλείονος ῥητέον καὶ πάλιν.
[18] Ἔχει ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ἰσοσκελοῦς ἀμβλυγωνίου τριγώνου ὀργυιὰς κδ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν ὀργυιὰς ιε. αἱ ιε μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι γίνονται σκε, καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν αἱ ιβ ἐφ' ἑαυτὰς γίνονται ρμδ· ταύτας ἄφελε ἀπὸ τῶν σκε· λοιπὰ πα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται θ· τοσούτων ὀργυιῶν ἔσται ἡ κάθετος. αὗται πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰς ιβ ὀργυιὰς γίνονται ρη· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου ὀργυιῶν ρη. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου ῥομβοειδοῦς τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν σιϚ ἤτοι γῆς μοδίου ἑνὸς λιτρῶν τριῶν καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
[19] Ῥομβοειδὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα τρία ἤγουν εἰς ἓν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς β τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια καὶ ταῦτα. ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου ἀνὰ ὀργυιῶν ιβ, τὰ δὲ δύο σκέλη ἀνὰ ὀργυιῶν θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ ιβ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ θ τοῦ ἑνὸς σκέλους· γίνονται ρη· καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ὀργυιῶν ρη. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων ὀργυιῶν ιβ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ὀργυιῶν θ, καὶ ἡ ὑποτείνουσα ὀργυιῶν δεκαπέντε· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τούτων. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται Ϛ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ θ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται νδ· καὶ ἔστιν ἑνὸς ἑκάστου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν νδ. ὁμοῦ τῶν τριῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν σιϚ ἤτοι γῆς μοδίου ἑνὸς λιτρῶν τριῶν καὶ ὀργυιᾶς μιᾶς.
[16]
[1] Τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μία τῶν καθέτων ἤγουν τῶν πλαγίων πλευρῶν σχοινίων η, ἡ δὲ ἑτέρα σχοινίων Ϛ, καὶ ἡ βάσις σχοινίων ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τὰ η καὶ τὰ Ϛ· γίνονται ιδ· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται ζ· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ι τῆς βάσεως· γίνονται ο· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων ο. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται λε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λε.
[2] Τὸ τοιοῦτον τραπέζιον διαιρεῖται καὶ εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον ὀρθογώνιον. ἡ δὲ μέτρησις ἑκάστου τούτων ἔχει οὕτως· αἱ δύο τῶν καθέτων τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων Ϛ, αἱ δὲ β τῶν βάσεων ἀνὰ σχοινίων ι· τὰ ι τῆς μιᾶς τῶν βάσεων ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς μιᾶς τῶν καθέτων πολυπλασιαζόμενα γίνονται ξ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ [3] παραλληλογράμμου σχοινίων ξ. ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ι, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ σχοινίων β. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως γίνεται σχοινία ε· ταῦτα ἐπὶ τὰ β τῆς πρὸς ὀρθὰς πολυπλασιαζόμενα γίνονται ι· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων ι. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν δύο τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ο. ὧν Ϛ΄ γίνεται λε· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ὀρθογωνίου τραπεζίου γῆς μοδίων λε.
[4] Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ ὄρθιος πλευρὰ ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων ιβ, ἡ κορυφὴ σχοινίων η, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιϚ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν η καὶ ιϚ· γίνονται κδ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ιβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς πολυπλασιαζόμενα γίνονται ρμδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων ρμδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται οβ· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου μοδίων οβ.
[5] Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον. ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων η, τὰ δὲ β σκέλη ἀνὰ σχοινίων ιβ. τὰ η τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ ἑνὸς σκέλους πολυπλασιαζόμενα γίνονται Ϛ καὶ δηλοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου. ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων η, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς τούτου ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων ιβ· τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ ἐπὶ τὰ ιβ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται μη, καὶ δηλοῦσι καὶ ταῦτα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρμδ. ὧν τὸ Ϛ΄ ἐστιν ὁ μοδισμός.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου.
[6] Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς δύο τρίγωνα σκαληνά, ὧν τὸ ἓν ὀρθογώνιον, τὸ δὲ ἕτερον ἀμβλυγώνιον. ἡ βάσις τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ιϚ, ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ σχοινίων ιβ καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων κ. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ η πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται Ϛ καὶ δηλοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου. ἡ ἐλάσσων πλευρὰ τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων η· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· ἡ βάσις σχοινίων κ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ὁ δὲ [7] πολυπλασιασμὸς τῆς ἑτέρας πλευρᾶς ση. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. σύνθες τὸν τῆς βάσεως πολυπλασιασμὸν καὶ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἤγουν τὰ υ καὶ τὰ ση· γίνονται χη· ἀφ' ὧν ὑπέξελε τὸν τῆς ἑτέρας πλευρᾶς πολυπλασιασμὸν ἤγουν τὰ ξδ· λοιπὰ φμδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται σοβ. ταῦτα μεριζόμενα παρὰ τὰ κ τῆς βάσεως γίνονται ιγ Ϛ΄ ι΄· ἔσται οὖν ἡ μείζων βάσις σχοινίων τοσούτων. ὁμοίως σύνθες τὰ υ τῆς βάσεως καὶ τὰ ξδ τῆς ἐλάσσονος πλευρᾶς· γίνονται υξδ· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ ση τῆς ἑτέρας πλευρᾶς· λοιπὰ σνϚ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ρκη. ταῦτα μεριζόμενα ὁμοίως παρὰ τὰ κ τῆς βάσεως γίνονται Ϛ γ΄ ιε΄· ἔσται καὶ ἡ ἐλάττων βάσις σχοινίων Ϛ καὶ ε΄ ε΄ β. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες μ ε΄ ε΄ δ καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν ξδ· λοιπαὶ μονάδες κγ καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται δ Ϛ΄ ε΄ ι΄· τοσούτων σχοινίων [8] ἡ κάθετος. πάλιν τὰ ιγ Ϛ΄ ι΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μονάδες ρπδ ε΄ ε΄ δ καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ταῦτα ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ση· λοιπαὶ μονάδες κγ καὶ ε΄ τὸ ε΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὁμοίως δ Ϛ΄ ε΄ ι΄· ἔσται οὖν ἡ κάθετος σχοινίων τοσούτων. τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ εὑρεῖν. λαβὲ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται ι· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ δ Ϛ΄ ε΄ ι΄ τῆς καθέτου· γίνονται μη· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου σχοινίων μη. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρμδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται οβ· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ὀρθογωνίου τραπεζίου μοδίων οβ.
Τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου.
[9] Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τρίγωνα ἕτερα δύο, ὧν τὸ ἓν ἰσοσκελὲς ὀξυγώνιον, τὸ δὲ ἕτερον ὀρθογώνιον σκαληνόν. ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων ιϚ, ἑκάστη δὲ τῶν ἴσων πλευρῶν δυνάμει ση· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται η· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· τὰ ξδ ἀφαίρει ἀπὸ τῶν ση· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιβ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. ταῦτα ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν ἐπὶ τὰ η πολυπλασιαζόμενα γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοσκελοῦς ὀξυγωνίου τριγώνου σχοινίων Ϛ. ὧν [10] τὸ Ϛ΄ μη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων. ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων η, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς τούτου ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων ιβ· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ η τῆς κορυφῆς πολυπλασιαζόμενα γίνονται μη· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων μη. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται κδ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρμδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται οβ· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ὀρθογωνίου τραπεζίου καὶ οὕτως μοδίων οβ.
Τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου.
[11] Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μὲν μεῖζον σκέλος σχοινίων ι, τὸ δὲ ἧττον σχοινίων ε, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τὰ δέκα καὶ τὰ πέντε· γίνονται ιε· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ἑπτὰ ἥμισυ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ τῆς κορυφῆς· γίνονται ἐνενήκοντα· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου σχοινίων ἐνενήκοντα. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται με· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
[12] Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα δύο ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον. αἱ δύο τῶν τοῦ μήκους τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων δώδεκα, αἱ δὲ δύο τῶν τοῦ πλάτους ἀνὰ σχοινίων ε. τὰ ιβ τῆς μιᾶς τῶν τοῦ μήκους ἐπὶ τὰ ε τῆς μιᾶς τῶν τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμενα γίνονται ἑξήκοντα· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων ἑξήκοντα. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται τριάκοντα· καὶ ἔστι [13] γῆς μοδίων τριάκοντα. ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ιβ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων ε. τὸ ἥμισυ τῆς κορυφῆς ἤγουν τὰ Ϛ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ πέντε τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται λ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων λ. ὧν ἥμισυ γίνεται δεκαπέντε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων δεκαπέντε. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων τοῦ τε παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων . ὧν ἥμισυ γίνεται τεσσαρακονταπέντε· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ ὅλου τραπεζίου μοδίων με.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ τριγώνου.
[14] Ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μὲν μεῖζον σκέλος ὀργυιῶν κδ, τὸ δὲ ἧττον ὀργυιῶν ιβ, ἡ δὲ κορυφὴ ὀργυιῶν λε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τὰς κδ καὶ τὰς ιβ· γίνονται λϚ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ιη· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς λε τῆς κορυφῆς· γίνονται χλ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου ὀργυιῶν χλ. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται γ η΄ μ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ καὶ λιτρῶν Ϛ.
[15] Τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα δύο ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον σκαληνὸν ὀρθογώνιον. αἱ δύο τοῦ πλάτους τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ ὀργυιῶν ιβ, αἱ δὲ δύο τοῦ μήκους ἀνὰ ὀργυιῶν λε. αἱ ιβ τῆς μιᾶς τοῦ πλάτους πολυπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὰς λε τῆς μιᾶς τοῦ μήκους γίνονται υκ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ὀργυιῶν υκ. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται β ι΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων β καὶ λιτρῶν [16] δ. ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν λε, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ ἤγουν ἡ κάθετος ὀργυιῶν ιβ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· αἱ Ϛ ἐπὶ τὰ λε τῆς κορυφῆς πολυπλασιαζόμεναι γίνονται σι· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ὀργυιῶν σι. ὧν μέρος διακοσιοστὸν γίνεται ἓν εἰκοστόν· καὶ ἔστι γῆς μοδίου ἑνὸς καὶ λιτρῶν β. ὁμοῦ· καὶ πάλιν ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν ὀργυιῶν χλ. ὁ δὲ μοδισμὸς τούτου μοδίων γ καὶ λιτρῶν Ϛ· αἱ γὰρ χ ὀργυιαὶ ὑπεξαιροῦνται ἐπὶ τῶν διακοσίων καὶ ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων γ, αἱ δὲ λ ὑπεξαιροῦνται ἐπὶ τῶν ε καὶ ποσοῦνται καὶ αὐταὶ εἰς γῆν λιτρῶν Ϛ.
Τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ τριγώνου.
[17] Τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοινίων δ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιϚ, καὶ ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ βάσεως ἤγουν δ ἀπὸ τῶν ιϚ· λοιπὰ ιβ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· καὶ τὰ ι τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ λϚ· λοιπὰ ξδ. ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ η· καὶ ἔστιν ἡ κάθετος τοσούτων σχοινίων. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν δ καὶ ιϚ· γίνονται κ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ι· ταῦτα πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ η τῆς καθέτου γίνονται π· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ἰσοσκελοῦς τραπεζίου σχοινίων π. ὧν Ϛ΄ γίνεται μ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μ.
[18] Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα τρία ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια καὶ ταῦτα. ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων δ, τὰ δὲ β σκέλη ἀνὰ σχοινίων η. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. πολυπλασίασον τὰ δ τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους· γίνονται λβ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων λβ. ὧν Ϛ΄ γίνεται ιϚ· καὶ [19] ἔστι γῆς μοδίων ιϚ. ἡ βάσις ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων Ϛ, ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων η. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως γίνεται γ· ταῦτα ἐπὶ τὰ η τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων κδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται ιβ· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων ιβ. ὁμοῦ τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τῶν δύο τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν καὶ πάλιν σχοινίων π. ὧν Ϛ΄ γίνεται μ· καὶ ἔστι γῆς ὁ τόπος τοῦ ὅλου ἰσοσκελοῦς τραπεζίου μοδίων μ.
[20] Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοινίων β, ἡ βάσις σχοινίων ιη, καὶ τὰ δύο σκέλη ἀνὰ σχοινίων ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ βάσεως ἤγουν β ἀπὸ τῶν ιη· λοιπὰ ιϚ· ὧν Ϛ΄ γίνεται η· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ ι τοῦ σκέλους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ ξδ· λοιπὰ λϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ Ϛ· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν β καὶ ιη· γίνονται κ· ὧν τὸ Ϛ΄ ι· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται ξ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ἰσοσκελοῦς τραπεζίου σχοινίων ξ. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ.
[21] Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα τρία ἤγουν εἰς παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια. ἡ κορυφὴ καὶ ἡ βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ἀνὰ σχοινίων β, τὰ δὲ β σκέλη ἀνὰ σχοινίων Ϛ. τὰ β τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ Ϛ τοῦ μήκους πολυπλασιαζόμενα γίνονται ιβ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων ιβ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται Ϛ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων Ϛ. [22] ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ὀκτώ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων Ϛ. τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου σχοινίων κδ. ὧν Ϛ΄ ιβ· καὶ ἔστιν ἕκαστον αὐτῶν γῆς μοδίων ιβ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν τριῶν τμημάτων ἤγουν τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τῶν δύο τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ξ. ὧν τὸ Ϛ΄ λ· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ἰσοσκελοῦς τραπεζίου μοδίων λ.
[23] Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κορυφὴ σχοινίων η, ἡ βάσις σχοινίων λη, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων ιζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ἄφελε ὁμοίως κορυφὴν ἀπὸ βάσεως ἤγουν η ἀπὸ τῶν λη· λοιπὰ λ· ὧν Ϛ΄ ιε· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σκε· καὶ τὰ ιζ τοῦ ἑνὸς σκέλους ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σπθ· ἐξ ὧν λαβὲ τὰ σκε· λοιπὰ ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται η· τοσούτων σχοινίων ἡ κάθετος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν η καὶ λη· γίνονται μϚ· ὧν Ϛ΄ κγ· ταῦτα ἐπὶ τὰ η τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται ρπδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ τραπεζίου σχοινίων ρπδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται β· καὶ ἔστι γῆς μοδίων β.
[24] Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς τμήματα τρία ἤγουν εἰς τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον καὶ εἰς δύο τρίγωνα σκαληνὰ ὀρθογώνια. αἱ τέσσαρες πλευραὶ τοῦ τετραγώνου ἀνὰ σχοινίων η. ταῦτα ἐφ' ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα γίνονται ξδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου σχοινίων ξδ. ὧν Ϛ΄ [25] γίνεται λβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λβ. ἡ βάσις ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ιε, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων η. ὧν Ϛ΄ γίνεται δ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε τῆς βάσεως πολυπλασιαζόμενα γίνονται ξ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων ξ. ὧν Ϛ΄ γίνεται λ· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων λ. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν τριῶν τμημάτων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων ρπδ. ὧν Ϛ΄ γίνεται β· καὶ ἔστιν ὁ τόπος τοῦ παντὸς ἰσοσκελοῦς τραπεζίου γῆς μοδίων β.
[26] Τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ αὐτὸ διαιρούμενον εἰς ἕτερα τραπέζια ὀρθογώνια. ἡ κορυφὴ ἑνὸς ἑκάστου ὀρθογωνίου τραπεζίου ἀνὰ σχοινίων δ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιθ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀμφοτέρων ἤγουν ἡ κάθετος σχοινίων η· εὑρεῖν ἑκάστου τούτων τὸ ἐμβαδόν. σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν ἤγουν δ καὶ ιθ· γίνονται κγ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ια Ϛ΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς καθέτου πολυπλασιαζόμενα γίνονται β· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων β. ὧν ἥμισυ γίνεται μϚ· καὶ ἔστιν ἕκαστον τούτων γῆς μοδίων μϚ, τοῦ ὅλου ἰσοσκελοῦς τραπεζίου ὄντος γῆς μοδίων β.
[27] Τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοινίων ζ, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων λζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ ἐγένετο τετράγωνον ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον, οὗ αἱ παράλληλοι πλευραὶ ἀνὰ σχοινίων ιγ καὶ αἱ λοιπαὶ ἀνὰ σχοινίων ζ, καὶ δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, ὧν αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀνὰ σχοινίων ἑπτά, αἱ δὲ βάσεις [28] ἀνὰ σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιγ τῆς κορυφῆς τοῦ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὰ ζ τῆς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ γίνονται α· τὰ δὲ ιβ τῆς βάσεως ἑκάστου τριγώνου ἐπὶ τὰ ζ τῆς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ γίνονται πδ· ὧν Ϛ΄ γίνεται μβ· ἔσται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων α, τῶν δὲ δύο ὀρθογωνίων τριγώνων σχοινίων πδ. σύνθες τοίνυν τὰ α καὶ τὰ πδ· γίνονται ροε· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου σχοινίων ροε. ὧν Ϛ΄ πζ Ϛ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων πζ Ϛ΄.
[29] Ἕτερον τραπέζιον ἰσοσκελές, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων λα, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων ιθ, τὰ δὲ σκέλη ἀνὰ σχοινίων ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ ἐγένετο τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ δύο τρίγωνα ὀρθογώνια. καὶ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου, τουτέστιν ἡ βάσις, ἀπὸ σχοινίων λα· λοιπὰ σχοινία ιβ· ταῦτα διάνεμε ταῖς β βάσεσι τῶν τριγώνων ὀρθογωνίων, ὡς εἶναι ἑκάστου αὐτῶν τὴν βάσιν σχοινίων Ϛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν βάσις σχοινίων Ϛ καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων ι, ἔσται καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων η καὶ τὸ ἐμβαδὸν ἑκάστου τριγώνου ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος σχοινίων κδ. τοῦ μέντοι τετραγώνου τὰ ιθ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ η τῆς πρὸς ὀρθὰς γίνονται [30] ρνβ· ὡς εἶναι τὸ ὅλον τραπέζιον σχοινίων σ. ἐὰν δὲ καὶ ἄλλως θέλῃς γνῶναι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· σύνθες τὰ λα τῆς βάσεως ὅλης καὶ τὰ ιθ τῆς κατὰ τὴν κορυφήν· γίνονται ὁμοῦ ν· ὧν Ϛ΄ γίνεται κε· ταῦτα ἐπὶ τὰ η τῆς καθέτου· γίνονται σ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τραπεζίου. ὧν Ϛ΄ γίνεται ἑκατόν· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
[31] Τραπέζιον ὀξυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ μικροτέρα πλευρὰ σχοινίων ε, ἡ δὲ μείζων σχοινίων ιβ, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων ιγ, καὶ ἡ διαγώνιος σχοινίων ε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν· καὶ ἐγένοντο δύο τρίγωνα ὀρθογώνια, ὧν αἱ μὲν βάσεις ἀνὰ σχοινίων τριῶν, αἱ δὲ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ε, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων δ. ἔσται οὖν τὸ ἐμβαδὸν τῶν δύο τριγώνων ὀρθογωνίων, ὡς ἐκ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος, [32] σχοινίων ιβ. τὸ δὲ ἕτερον τρίγωνον ἔσχε τὰς τρεῖς πλευρὰς ἀνίσους ὡσανεὶ σκαληνόν· ἡ μὲν γὰρ ἀμβλεῖα πλευρὰ σχοινίων ιβ, ἡ δὲ λοξὴ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ λοιπὴ σχοινίων πέντε· εὑρεῖν καὶ αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς τὰ ιβ, τὰ ιγ καὶ τὰ ε· γίνονται ὁμοῦ λ· ὧν τὸ Ϛ΄ ιε. ἑκάστην οὖν πλευρὰν τῶν ιε παρεκβαλὼν οὕτως· τὰ ιβ, λοιπὰ γ, τὰ ιγ, λοιπὰ β, τὰ ε, λοιπὰ ι· σύνθες ὁμοῦ τὰ γ, τὰ β, τὰ ι· γίνονται ιε· ταῦτα ἐπὶ τὴν πλείονα μονάδα κατὰ τὸ προτεθὲν ὑπόδειγμα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ β· γίνονται λ· καὶ τὰ λ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται · καὶ τὰ ἐπὶ τὰ ι· γίνονται Ϡ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται λ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου· καὶ ἐπὶ παντὸς τριγώνου ἡ μέθοδος τοῦ σκαληνοῦ ἰσχύει. ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου τραπεζίου ὀξυγωνίου ὁμοῦ σχοινίων μβ. ὧν Ϛ΄ γίνεται κα· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
[33] Τραπέζιον ἀμβλυγώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιϚ, ἡ δὲ μία πλευρὰ ἡ περὶ τὴν ἀμβλεῖαν σχοινίων ι, ἡ δὲ κορυφὴ σχοινίων ζ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ιζ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω παράλληλος ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης, ἥτις ἀχθεῖσά ἐστι σχοινίων ι. ἐπεὶ οὖν ἡ κορυφή ἐστι σχοινίων ζ, ἔσται αὐτῆς καὶ ἡ παράλληλος σχοινίων ζ· ὡς εἶναι τὰ λοιπὰ τῆς γραμμῆς τῆς βάσεως σχοινίων θ· καὶ ἐγένετο τρίγωνον ἀμβλυγώνιον, οὗ ἡ περὶ τὴν ἀμβλεῖαν πλευρὰ σχοινίων ι καὶ ἡ βάσις σχοινίων θ καὶ ἡ ὑποτείνουσα σχοινίων ιζ. ἐπιβαλλομένης δὲ τῇ βάσει εὐθείας εὑρίσκεται ἡ κάθετος ἀπὸ τοῦ ὑποδείγματος τοῦ τριγώνου ἀμβλυγωνίου σχοινίων η. μετρηθήσεται τοίνυν οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν τοῦ ὅλου τραπεζίου, τουτέστι τὰ ιϚ, καὶ τὰ ζ τοῦ τραπεζίου τῆς κορυφῆς· γίνονται κγ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται ια Ϛ΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ ὀκτὼ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται β· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται μϚ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μϚ.
[34] Τραπέζιον ἄνισον, οὗ ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοινίων ε, ἡ δὲ Ϛ, ἡ δὲ η, ἡ δὲ θ, μία δὲ τῶν διαγωνίων ζ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου. τοῦτο δὲ φανερόν· γεγόνασι γὰρ δύο τρίγωνα οἱαδήποτε τὰ ὑπὸ τῆς διαγωνίου καὶ τῶν πλευρῶν περιεχόμενα, ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ κορυφὴ τοῦ ἐλάσσονος τριγώνου σχοινίων ε, ἡ μικροτέρα πλευρὰ σχοινίων Ϛ, ἡ δὲ μείζων σχοινίων ζ ἤγουν· ἡ διαγώνιος τοῦ τραπεζίου· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς ἤγουν τὰ ε, τὰ Ϛ καὶ τὰ ζ· γίνονται ιη· ὧν ἥμισυ γίνεται θ· ἄφελε ἰδίᾳ καὶ ἀνὰ μέρος ἑκάστης πλευρᾶς τὸν ἀριθμὸν οὕτως· ἤγουν ἄφελε τῶν θ ε, καὶ περιλιμπάνονται δ· ὁμοίως ἄφελε τῶν αὐτῶν Ϛ, καὶ περιλιμπάνονται γ· ὡσαύτως ἄφελε τῶν αὐτῶν ζ, καὶ περιλιμπάνονται β. εἶτα πολυπλασίασον τὰ β ἐπὶ τὰ γ· γίνονται Ϛ· ταῦτα ὁμοίως ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κδ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ θ· γίνονται σιϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ [35] ιδ ΄ λγ΄ ἤτοι μονάδες ιδ καὶ λεπτὰ λγ΄ λγ΄ κγ. ὧν ὁ πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· ιδ ιδ ρϚ, καὶ ιδ τὰ κγ λγ΄ λγ΄ τκβ λγ΄ λγ΄, καὶ πάλιν τὰ κγ λγ΄ λγ΄ τῶν ιδ μονάδων τκβ λγ΄ λγ΄, καὶ κγ λγ΄ λγ΄ τῶν κγ λγ΄ λγ΄ φκθ λγ΄ λγ΄ τῶν λγ΄ λγ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα λγ΄ λγ΄ ιϚ καὶ λγ΄ τὸ λγ΄· ὁμοῦ μονάδες ρϚ λγ΄ λγ΄ χξ καὶ λγ΄ τὸ λγ΄· τὰ χξ λγ΄ λγ΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ λγ γίνονται μονάδες κ καὶ συντίθενται ταῖς λοιπαῖς ρϚ μονάσι, καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας σιϚ καὶ λγ΄ τὸ λγ΄, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιδ ΄ λγ΄, καθὼς εἴρηται· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἥττονος τριγώνου.
[36] ἡ βάσις τοῦ μείζονος τριγώνου σχοινίων θ, ἡ μείζων πλευρὰ σχοινίων ὀκτώ, ἡ δὲ ἐλάττων σχοινίων ζ ἤγουν ἡ διαγώνιος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες ὁμοίως τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τριῶν πλευρῶν ἤγουν ζ, η καὶ θ· γίνονται κδ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ιβ· ἀπὸ τούτων ἄφελε μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τὸν ἀριθμὸν οὕτως· ἤγουν ἄφελε τὰ ζ τῆς μιᾶς· λοιπὰ ε· ὁμοίως καὶ τὰ η τῆς ἑτέρας· λοιπὰ δ· ὡσαύτως καὶ τὰ θ τῆς ἄλλης· λοιπὰ γ. εἶτα πολυπλασίασον τὰ γ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιβ· ὁμοίως καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ξ· ὡσαύτως καὶ τὰ ξ ἐπὶ τὰ ιβ ψκ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κϚ Ϛ΄ γ΄ ὡς [37] ἔγγιστα ἤτοι μονάδες κϚ καὶ Ϛ΄ Ϛ΄ ε. ὧν ὁ πολυπλασιασμὸς γίνεται οὕτως· εἰκοσάκις καὶ ἑξάκις αἱ κϚ μονάδες γίνονται χοϚ μονάδες, καὶ εἰκοσάκις καὶ ἑξάκις τὰ πέντε ἕκτα ρλ Ϛ΄ Ϛ΄, καὶ πάλιν ε Ϛ΄ Ϛ΄ τῶν κϚ μονάδων ρλ Ϛ΄ Ϛ΄, καὶ ε Ϛ΄ Ϛ΄ τῶν ε Ϛ΄ Ϛ΄ κε Ϛ΄ Ϛ΄ τῶν Ϛ΄ Ϛ΄ γινόμενα καὶ ταῦτα Ϛ΄ Ϛ΄ τέσσαρα καὶ Ϛ΄ τὸ Ϛ΄· ὁμοῦ μονάδες χοϚ Ϛ΄ Ϛ΄ σξδ καὶ Ϛ΄ τὸ Ϛ΄· τὰ σξδ Ϛ΄ Ϛ΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ Ϛ γίνονται μονάδες μδ καὶ προστίθενται ταῖς λοιπαῖς χοϚ μονάσι, καὶ συμποσοῦται ὁ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ἀριθμὸς εἰς μονάδας ψκ καὶ Ϛ΄ τὸ Ϛ΄, ὧν ἡ πλευρὰ γίνεται κϚ Ϛ΄ γ΄, καθὼς εἴρηται· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ τοιούτου τριγώνου. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων μα Ϛ΄ λγ΄. ὧν ἥμισυ γίνεται κ Ϛ΄ δ΄ ξϚ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων εἴκοσι λιτρῶν λ Ϛ΄ ια΄ ξϚ΄.
[38] Ἕτερον τραπέζιον ἄνισον, οὗ ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοινίων γ, ἡ δὲ Ϛ, ἡ δὲ δ, ἡ δὲ ζ, μία δὲ τῶν διαγωνίων η. διαιρούμενον τοίνυν καὶ τὸ τοιοῦτον κατὰ τὴν ῥηθεῖσαν διαγώνιον ποιεῖ τρίγωνα σκαληνὰ δύο, ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· τοῦ ἄνωθεν τριγώνου ἡ μὲν τῶν πλευρῶν σχοινίων γ, ἡ δὲ Ϛ, ἡ δὲ ἤγουν ἡ διαγώνιος τοῦ τραπεζίου σχοινίων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τριῶν πλευρῶν ἤγουν Ϛ, γ, η· γίνονται ιζ· τούτων λαβὲ μέρος ἥμισυ· γίνονται η Ϛ΄· ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὰ γ τῆς μιᾶς πλευρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται ε Ϛ΄· ὁμοίως ὑπέξελε τῶν αὐτῶν τὰ Ϛ τῆς ἑτέρας πλευρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται β Ϛ΄· ὡσαύτως ὑπέξελε καὶ τὰ η τῆς λοιπῆς, καὶ περιλιμπάνεται Ϛ΄. εἶτα πολυπλασίασον τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὰ β Ϛ΄· γίνεται α δ΄· ὁμοίως καὶ τὸ α δ΄ ἐπὶ τὰ ε Ϛ΄· γίνονται Ϛ Ϛ΄ δ΄ η΄· ὡσαύτως καὶ τὰ Ϛ Ϛ΄ δ΄ η΄ ἐπὶ τὰ η Ϛ΄· γίνονται νη δ΄ η΄ ιϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ζ ΄ μετὰ διαφόρου· τοσούτων σχοινίων τὸ [39] ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου. τοῦ κάτωθεν τριγώνου αἱ πλευραὶ ἡ μὲν σχοινίων δ, ἡ δὲ σχοινίων ζ, ἡ δὲ η ἤγουν ἡ διαγώνιος τοῦ τραπεζίου· εὑρεῖν καὶ αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. σύνθες ὁμοίως τοὺς ἀριθμοὺς τῶν τριῶν πλευρῶν ἤγουν δ, ζ καὶ η· γίνονται ιθ· ὧν Ϛ΄ γίνεται θ Ϛ΄· ἀπὸ τούτων ἀφαίρει τὰ δ τῆς μιᾶς πλευρᾶς, καὶ περιλιμπάνονται ε Ϛ΄· ὁμοίως καὶ τὰ ζ τῆς ἑτέρας, καὶ περιλιμπάνονται β Ϛ΄· ὡσαύτως καὶ τὰ η τῆς ἑτέρας ἤγουν τῆς διαγωνόυ, καὶ περιλιμπάνεται α Ϛ΄. εἶτα πολυπλασίασον τὸ α Ϛ΄ ἐπὶ τὰ β Ϛ΄· γίνονται γ Ϛ΄ δ΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ ε Ϛ΄· γίνονται κ Ϛ΄ η΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ θ Ϛ΄· γίνονται ρε Ϛ΄ δ΄ η΄ ιϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιδ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν καὶ τοῦ κάτωθεν τριγώνου. ἀμφοτέρων δὲ τῶν τριγώνων ἤτοι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων κα ΄. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ι Ϛ΄ γ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων δέκα καὶ λιτρῶν λγ γ΄.
[40] Ἕτερον τραπέζιον, οὗ αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἰσόμετροι, αἱ δὲ λοιπαὶ δύο ἄνισοι. τέμνεται οὖν καὶ τὸ τοιοῦτον κατὰ τὴν διαιροῦσαν αὐτὸ γραμμὴν εἰς δύο καὶ ποιεῖ ἕτερον τραπέζιον ὀρθογώνιον καὶ τρίγωνον ὀρθογώνιον· ὧν ἡ μέτρησις ἔχει οὕτως· ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων θ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων ιε, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς πλευρὰ σχοινίων Ϛ. τὰ θ τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ιε τῆς βάσεως συντιθέμενα γίνονται κδ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ιβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται οβ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τραπεζίου σχοινίων οβ. ὧν Ϛ΄ γίνεται [41] λϚ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λϚ. τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν σχοινίων γ, ἡ δὲ σχοινίων ιε. τὰ τρία τῆς μιᾶς πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ ιε τῆς βάσεως γίνονται με· ὧν ἥμισυ γίνεται κβ Ϛ΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων κβ Ϛ΄. πάλιν τὸ ἥμισυ τῶν κβ Ϛ΄· γίνονται ια δ΄· καὶ ἔστι μοδίων ια καὶ λιτρῶν ι. ὁμοῦ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων ἤτοι τοῦ ὅλου τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων δ Ϛ΄. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται μζ δ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων μζ καὶ λιτρῶν ι.
[42] Τὸ τοιοῦτον σχῆμα διαιρούμενον κατὰ τὴν μίαν τῶν διαγωνίων ποιεῖ τὸ μὲν ὀρθογώνιον τραπέζιον εἰς τμήματα δύο ἤγουν εἰς τρίγωνον ἰσοσκελὲς καὶ εἰς τραπέζιον ὀρθογώνιον ἕτερον ἴσον τῷ ἰσοσκελεῖ τριγώνῳ, τὸ δὲ ὀρθογώνιον τρίγωνον εἰς ἕτερα τμήματα δύο, εἰς τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ εἰς τρίγωνον ἀμβλυγώνιον [43] τετραπλάσιον τοῦ ὀρθογωνίου. ἡ δὲ ἀναμέτρησις ἑνὸς ἑκάστου τμήματος ἔχει οὕτως· ἡ βάσις τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου σχοινίων ιβ, ἡ δὲ κάθετος αὐτοῦ σχοινίων Ϛ. τὰ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ Ϛ πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου γίνονται λϚ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου σχοινίων λϚ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται ιη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιη.
[44] ἡ κορυφὴ τοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου σχοινίων θ, ἡ βάσις σχοινίων γ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτοῦ πλευρὰ σχοινίων Ϛ. τὰ θ τῆς κορυφῆς καὶ τὰ γ τῆς βάσεως συντιθέμενα γίνονται ιβ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται λϚ, καὶ δηλοῦσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου τραπεζίου. εἶτα ἡμισειαζόμενα γίνονται ιη, καὶ δηλοῦσι τὸν μοδισμόν· ἔστιν οὖν τὸ τοιοῦτον ὀρθογώνιον τραπέζιον [45] ἴσον τῷ ἰσοσκελεῖ τριγώνῳ. αἱ δύο πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ἀνὰ σχοινίων γ. τὰ τρία τῆς μιᾶς πολυπλασιαζόμενα ἐπὶ τὰ τρία τῆς ἑτέρας γίνονται θ· ὧν Ϛ΄ γίνεται δ Ϛ΄· καὶ ἔστιν τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ σχοινίων δ Ϛ΄. ὧν ὑπεξαιρουμένων ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ μείζονος ὀρθογωνίου τριγώνου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν κβ Ϛ΄, περιλιμπάνονται ιη, καὶ δηλοῦσι [46] τὸ ἐμβαδὸν τοῦ σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου. ὁμοῦ· καὶ πάλιν τῶν δ τμημάτων τὸ ἐμβαδόν, τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου, τοῦ ἐλάσσονος ὀρθογωνίου τραπεζίου, τοῦ ἥττονος ὀρθογωνίου τριγώνου καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου, σχοινίων δ Ϛ΄. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται μζ δ΄· καὶ ἔστιν ὁ μοδισμὸς τούτων ἤτοι τοῦ ὅλου σχήματος μοδίων μζ καὶ λιτρῶν ι.
[17]
[1] Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ μὲν περίμετρος σχοινίων κβ, ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ κβ τῆς περιμέτρου· γίνονται ρνδ· ὧν τὸ τέταρτον· γίνονται λη Ϛ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[2] Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται γ Ϛ΄· καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται ια· καὶ πολυπλασίασον τὰ γ Ϛ΄ ἐπὶ τὰ ια· γίνονται λη Ϛ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[3] Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ κβ τῆς περιμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υπδ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται Ϛγτπη· ὧν τὸ πη΄· γίνονται λη Ϛ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[4] Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ, ἡ δὲ περίμετρος εὑρεθήσεται κατὰ τὴν ἔκθεσιν ποδῶν μδ· τὸ δὲ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται ρϚ· ταῦτα ἑνδεκάκι· γίνονται ϚβρνϚ· ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν ιδ· γίνονται ρνδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
[5] ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν μέθοδον τῆς περιμέτρου εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον ποίει ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται πόδες τη· καὶ πάντοτε μέριζε καθολικῶς παρὰ τὸν ζ [τουτέστιν ὧν ζ΄]· γίνονται μδ· ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν μδ.
[6] Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ περίμετρος ποδῶν π· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν περίμετρον ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται φξ· ὧν μερίζω τὸ κβ΄· γίνονται πόδες κε Ϛ΄· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν κε Ϛ΄.
[8] Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ αὐτοῦ περίμετρος εὑρεθήσεται κατὰ τὴν προγεγραμμένην ἔκθεσιν ποδῶν κβ· παντὸς γὰρ κύκλου ἡ περίμετρος τριπλάσιον καὶ ἕβδομόν ἐστιν τῆς διαμέτρου. ἐὰν οὖν θέλῃς εὑρεῖν τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέτρου, τριπλασίασον τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες κα· καὶ πρόσθες τούτοις τὸ ζ΄ τῆς αὐτῆς διαμέτρου· γίνεται ποὺς α· γίνονται πόδες κβ· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ περίμετρος.
[7] Ἐὰν θέλῃς εὑρεῖν ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον, τοὺς κβ πόδας τῆς περιμέτρου μέρισον παρὰ τὸν κβ· γίνεται ποὺς α· τοῦτον ἑπταπλασίασον· γίνονται πόδες ζ· τοσούτων ἔστω ποδῶν ἡ διάμετρος.
[4] Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τοῦ κύκλου, τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου πολυπλασίασον ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες μθ· τούτους ἑνδεκαπλασίασον· γίνονται πόδες φλθ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄· τοσούτων ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[1] Ἄλλη μέθοδος δηλοῦσα διὰ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου πολυπλασίασον εἰς τοὺς κβ πόδας τῆς περιμέτρου· γίνονται πόδες ρνδ· τούτων τὸ δ΄ πόδες λη Ϛ΄· τοσούτων ἔστω ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
[3] Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, τοὺς κβ πόδας τῆς περιμέτρου πολυπλασίασον ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες υπδ· τούτους ἑπταπλασίασον· γίνονται πόδες Ϛγτπη· τούτων τὸ πη΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄· τοσούτων ἔστω ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
[3,a] Ἄλλη μέθοδος δηλοῦσα διὰ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
πρόσθες τοῖς κβ ποσὶ τῆς περιμέτρου μέρος αὐτῶν Ϛ΄ δ΄· γίνονται πόδες ιϚ Ϛ΄· ὁμοῦ γίνονται πόδες λη Ϛ΄· τοσούτων ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[4a] Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται φλθ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται λη Ϛ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.
[5a] Παρὰ δὲ Εὐκλείδῃ ὁ κύκλος οὕτως μετρεῖται· πολυπλασιάζεται ἡ διάμετρος ἐφ' ἑαυτήν, καὶ τῶν γινομένων ἐκβάλλεις τὸ ζ΄ ιδ΄, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου σχοινίων λη Ϛ΄.
[6a] Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ κβ τῆς περιμέτρου ἑπτάκις· γίνονται ρνδ· ὧν τὸ κβ΄· γίνονται ζ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[7a] Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν κβ τῆς περιμέτρου τὸ κβ΄· γίνεται α· τοῦτο ἑπτάκις· γίνονται ζ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[8a] Ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὴν περίμετρον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου τρισσάκις· γίνονται κα· καὶ τῶν ἑπτὰ τῆς διαμέτρου ἀεὶ τὸ ζ΄· γίνεται α· ὁμοῦ κβ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου.
[9] Καὶ ἄλλως· ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου μετὰ τῆς διαμέτρου σχοινίων κθ· διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν τήν τε περίμετρον αὐτοῦ καὶ τὴν διάμετρον. ποίει οὕτως· τὰ κθ ἑπτάκις· γίνονται σγ· ὧν τὸ κθ΄· γίνονται ζ· ταῦτα λαβὲ ἀπὸ τῶν κθ· λοιπὰ κβ· ἔσται τοίνυν ἡ περίμετρος σχοινίων κβ, ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων ζ.
[10] Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων ιδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον τρισσάκις· γίνονται μβ· τούτοις πρόσθες καὶ τὸ ζ΄ τῆς διαμέτρου ἤγουν τὰ β· γίνονται μδ· τοσούτων σχοινίων εὐθυμετρικῶν λέγε εἶναι τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου.
[11] Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν. ἄφελε τὸ κβ΄ τῆς περιμέτρου, λέγω δὴ τῶν μδ· γίνονται β· λοιπὰ μβ· τούτων τὸ γ΄· γίνονται ιδ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ διάμετρος.
[12] Ἄλλως ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον εὑρεῖν. ἔστω τοῦ κύκλου ἡ περίμετρος σχοινίων μδ· ταῦτα ἀεὶ ποίησον ἑπτάκις· γίνονται τη· τούτων λαβὲ μέρος κβ΄· γίνονται ιδ· τοσούτων σχοινίων λέγε εἶναι τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου.
[13] Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ἀεὶ τὴν περίμετρον ἐφ' ἑαυτήν, τουτέστι τὰ μδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ϚαϠλϚ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται Ϛγφνβ· τούτων λαβὲ μέρος πη΄· ἔσται ρνδ· τοσούτων σχοινίων λέγε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[14] Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον τὰ ιδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· τούτων λαβὲ τὸ ζ΄ ιδ΄ ἤγουν τὰ μβ· λοιπὰ ρνδ· τοσούτων σχοινίων λέγε εἶναι ἐπιπέδων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[15] Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. τὰ ιδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚβρνϚ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ρνδ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[16] Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου σχοινίων ιδ· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται ἑπτά· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται ρμζ· τούτοις πρόσλαβε τὸ ζ΄ τῶν μθ, τουτέστιν ἑπτά· γίνονται ρνδ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[17] Ἔτι ἄλλως τὸν κύκλον μετρήσωμεν ἀπὸ τῆς διαμέτρου μόνης. ἔστω τοῦ κύκλου ἡ διάμετρος σχοινίων ιδ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· ἀπὸ τούτων ἆρον τὸ τέταρτον ἤγουν τὰ μθ· λοιπὰ ρμζ· τούτοις πρόσθες τὸ ἴδιον εἰκοστόπρωτον, τὰ ἑπτά· γίνονται ρνδ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[18] Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἐπεὶ ὁ πολυπλασιασμὸς τῆς διαμέτρου μετὰ τῆς περιμέτρου τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου, πολυπλασίασον τὴν διάμετρον ἐπὶ τὴν περίμετρον, ἤγουν τὰ ιδ ἐπὶ τὰ μδ· γίνονται χιϚ· τούτων λαβὲ μέρος τέταρτον· γίνονται ρνδ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[19] Ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται ἑπτά· καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἥμισυ· γίνονται εἰκοσιδύο· καὶ πολυπλασίασον τὰ ἑπτὰ ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται ρνδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[20] Ἔτι καὶ ἄλλως ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. λαβὲ τὸ δ΄ τῆς περιμέτρου καὶ πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν διάμετρον, ἤγουν τὰ ια ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται καὶ οὕτως ρνδ· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[21] Δοθείσης δὲ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μετὰ τῆς περιμέτρου σχοινίων νη διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν, πόσου γίνεται ἡ διάμετρος καὶ πόσου ἡ περίμετρος. ποίει οὕτως· ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον πρώτην εὑρεῖν, ποίησον τὰ νη ἑπτάκις· γίνονται υϚ· τούτων λαβὲ μέρος κθ΄· γίνονται ιδ· τοσούτου ἡ διάμετρος. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν νη· λοιπὰ μδ· τοσούτου ἡ περίμετρος. ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν περιφέρειαν πρώτην εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ νη εἰκοσάκις καὶ δίς· γίνονται ϚασοϚ· τούτων λαβὲ μέρος κθ΄· γίνονται μδ· τοσούτου ἐστὶν ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν νη· λοιπὰ ιδ· τοσούτου ἡ διάμετρος.
[22] Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου τήν τε διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον εὑρήσεις οὕτως· ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου μονάδων λη Ϛ΄· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποίησον τὰ λη Ϛ΄ τεσσαρεσκαιδεκάκις· γίνονται φλθ· τούτων μέρος ια΄ γίνεται μθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ἑπτά· τοσούτου ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου. τὴν δὲ περίμετρον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον τὸ ἐμβαδὸν ἤγουν τὰ λη Ϛ΄ ὀγδοηκοντάκις η· γίνονται Ϛγτπη· τούτων μέρος ἕβδομον γίνεται υπδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται εἰκοσιδύο· τοσούτου ἔσται ἡ περίμετρος.
[23] Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων Ϛ· ἡ ἄρα περίμετρος αὐτοῦ, ὅτι τριπλάσιος καὶ ἐφέβδομός ἐστι τῆς διαμέτρου, ἔσται σχοινίων ιη καὶ Ϛ ζ΄ ζ΄. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τοῦ τετάρτου τῆς περιμέτρου ἴσον ἔσται τῷ κύκλῳ. ἔστιν οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου σχοινίων Ϛ, τὸ δὲ δ΄ τῆς περιμέτρου σχοινίων δ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ ἤτοι σχοινίων δ καὶ πέντε ζ΄ ζ΄· ταῦτα δι' ἀλλήλων πολυπλασιαζόμενα γίνονται κη δ΄ κη΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
[24] Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων ιβ Ϛ΄ δ΄· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· ἐπειδὴ ιβ σχοινίων καὶ γ δ΄ δ΄ ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἀνάλυσον διὰ τὰ τέταρτα καὶ τὰ σχοινία εἰς δ΄ δ΄· γίνονται ὁμοῦ τέταρτα να· ταῦτα ποίησον γ· γίνονται ρνγ· τούτοις πρόσθες καὶ τὸ ζ΄ τῶν να ἤγουν ζ καὶ β ζ΄ ζ΄· γίνονται τὰ ὅλα δ΄ δ΄ ρξ καὶ β ζ΄ ζ΄ τῶν δ΄ δ΄ ἤτοι μονάδες μ καὶ ιδ΄ τῆς μονάδος· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ περίμετρος.
[25] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ τῆς διαμέτρου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὰ ιβ Ϛ΄ δ΄ τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξβ Ϛ΄ ιϚ΄· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαψπη η΄ ιϚ΄· τούτων μέρος ιδ΄ γίνεται ρκζ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ ριβ΄ σκδ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[26] Ἄλλως εἰς τὸ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ μόνης τῆς διαμέτρου. ἐπειδὴ ιβ σχοινίων καὶ γ δ΄ δ΄ ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἀνάλυσον διὰ τὰ τέταρτα καὶ τὰ ιβ σχοινία εἰς δ΄ δ΄· καὶ γίνονται ὁμοῦ δ΄ δ΄ να. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται δ΄ δ΄ τῶν δ΄ δ΄ Ϛβχα· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται μυριάδες β καὶ Ϛηχια· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται Ϛβμγ Ϛ΄ ζ΄· τούτων τὸ ιϚ΄ διὰ τὸ πολυπλασιασθῆναι δ΄ ἐπὶ δ΄· γίνονται ρκζ Ϛ΄ η΄ ιϚ΄ λβ΄ ριβ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[27] Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὴν περίμετρον ἤγουν τὰ μ σχοινία σὺν τῷ ιδ΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαχε ΄ κα΄ ρϚ΄· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται Ϛασμ κη΄· τούτων μέρος πη΄ γίνεται ρκζ ΄ κα΄ ριβ΄ σκδ΄· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[28] Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ τέταρτον τῆς περιμέτρου· γίνονται σχοινία ι καὶ σχοινίου τὸ πεντηκοστόεκτον· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ιβ Ϛ΄ δ΄ τῆς διαμέτρου οὕτως· δεκάκις τὰ ιβ Ϛ΄ δ΄ ρκζ Ϛ΄· καὶ τὸ πεντηκοστόεκτον τῶν ιβ Ϛ΄ δ΄ ζ΄ ιδ΄ ριβ΄ σκδ΄· ὁμοῦ ρκζ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ ριβ΄ σκδ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
[29] Ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος σχοινίων ιϚ γ΄ ιε΄ ἤτοι σχοινίων ιϚ καὶ ε΄ ε΄ δύο· εὑρεῖν τὴν περίμετρον. ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς ε΄ ε΄· γίνονται ὁμοῦ ε΄ ε΄ πβ. ταῦτα ποίησον τρισσάκις· γίνονται σμϚ· τούτοις πρόσθες τὸ ζ΄ τῶν πβ ἤγουν ια καὶ πέντε ζ΄ ζ΄· γίνονται ὁμοῦ ε΄ ε΄ σνζ καὶ ε ζ΄ ζ΄ τῶν ε΄ ε΄ ἤτοι μονάδες να γ΄ ζ΄ ιε΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος.
[30] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ μόνης τῆς διαμέτρου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· τὴν διάμετρον, τουτέστι τὰ ιϚ σχοινία καὶ τὰ β ε΄ ε΄, ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σξη ε΄ ε΄ δ καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚβϠνη ε΄ ε΄ β καὶ δ ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄· τούτων μέρος ιδ΄ γίνεται σια δ΄ κε΄ κη΄· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[31] Ἔτι ἄλλως ἀπὸ μόνης τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἐπειδὴ τὰ ιϚ γ΄ ιε΄ σχοινία πβ ε΄ ε΄ εἰσί, πολυπλασίασον ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄ ϚϚψκδ· ταῦτα ποίησον ἑνδεκάκις· γίνονται μυριάδες ἑπτὰ καὶ ϚγϠξδ· τούτων μέρος ιδ΄ γίνεται Ϛεσπγ ζ΄· ταῦτα διὰ τὸ εἶναι ε΄ ε΄ τῶν ε΄ ε΄ μέρισον παρὰ τὰ κε· γίνεται τὸ εἰκοστόπεμπτον τούτων σια δ΄ κε΄ κη΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[32] Ἀπὸ δὲ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἐπειδὴ ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου να σχοινίων καὶ λεπτῶν τριακοστοπέμπτων ιθ ἐστί, πολυπλασίασον πρότερον τὰ να σχοινία ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛβχα· εἶτα πολυπλασίασον τὰ αὐτὰ να σχοινία καὶ ἐπὶ τὰ ιθ λε΄ λε΄· γίνονται λε΄ λε΄ Ϡξθ· καὶ αὖθις πολυπλασίασον τὰ ιθ λε΄ λε΄ πρότερον μὲν ἐπὶ τὰ να σχοινία· γίνονται λε΄ λε΄ Ϡξθ· εἶτα πολυπλασίασον τὰ αὐτὰ ιθ λε΄ λε΄ καὶ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ τξα γινόμενα λε΄ λε΄ ι καὶ ια λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄· ὁμοῦ σχοινία Ϛβχα λε΄ λε΄ ϚαϠμη καὶ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ ια. τὰ ϚαϠμη λε΄ λε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ λε γίνονται σχοινία νε, μένουσι δὲ καὶ λε΄ λε΄ κγ· τὰ τοιαῦτα νε σχοινία προστίθενται εἰς τὰ ἕτερα Ϛβχα καὶ ποσοῦνται σὺν αὐτοῖς εἰς ϚβχνϚ· καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τοῦ πολυπλασιασμοῦ συναγόμενος ὅλος ἀριθμὸς σχοινία [33] ϚβχνϚ λε΄ λε΄ κγ καὶ ια λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄. ἀναλυομένων δὲ καὶ τῶν κγ λε΄ λε΄ εἰς λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ γίνεται ὁ τοιοῦτος πολυπλασιασμὸς σχοινία ϚβχνϚ καὶ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ ωιϚ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται σχοινία Ϛηφβ καὶ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ Ϛεψιβ γινόμενα τριακοστόπεμπτα ρξγ ε΄· τὰ ρξγ ε΄ λε΄ λε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ λε γίνονται σχοινία δ Ϛ΄ ζ΄ ν΄. ταῦτα προστίθενται εἰς τὰ Ϛηφβ· καὶ γίνεται ὁ ἑπταπλασιασμὸς τοῦ πολυπλασιασμοῦ σχοινία ϚηφϚ Ϛ΄ ζ΄ ν΄. τούτων μέρος πη΄ γίνεται σχοινία σια δ΄ κε΄ κη΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[34] Ἄλλως ἀπὸ τῆς περιμέτρου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ἐπειδὴ ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου να σχοινίων καὶ ιθ λε΄ λε΄ ἐστίν, ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς τριακοστόπεμπτα· γίνονται ὁμοῦ τὰ ὅλα λε΄ λε΄ Ϛαωδ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μυριάδες τκε καὶ ϚδυιϚ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται μυριάδες Ϛβσοη καὶ Ϡιβ. τούτων μέρος πη΄ γίνεται μυριάδες κε καὶ Ϛηωοδ· ταῦτα παρὰ τὰ Ϛασκε μεριζόμενα διὰ τὸ εἶναι λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ γίνονται σια δ΄ κε΄ κη΄· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[35] Ἀπὸ δὲ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· λαβὲ τὸ δ΄ τῆς περιμέτρου ἤγουν τὰ ιβ σχοινία καὶ λεπτὰ λε΄ λε΄ λα καὶ πολυπλασίασον αὐτὰ ἐπὶ τὴν διάμετρον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιϚ σχοινία καὶ ιδ λε΄ λε΄ οὕτως· ιβ ιϚ ρβ καὶ ιβ τὰ ιδ λε΄ λε΄ ρξη λε΄ λε΄· καὶ λα λε΄ λε΄ τῶν ιϚ σχοινίων υϚ λε΄ λε΄, καὶ λα λε΄ λε΄ τῶν ιδ λε΄ λε΄ υλδ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ γινόμενα καὶ ταῦτα λε΄ λε΄ ιβ καὶ ιδ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄· ὁμοῦ σχοινία ρβ λε΄ λε΄ [36] χοϚ καὶ ιδ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄. τὰ χοϚ λε΄ λε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ λε γίνονται σχοινία ιθ, μένουσι δὲ καὶ λε΄ λε΄ ια· τὰ δὲ ιθ σχοινία συντίθενται τοῖς ἑτέροις ρβ· καὶ γίνονται ὁμοῦ σχοινία σια λε΄ λε΄ ια καὶ ιδ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ γινόμενα καὶ ταῦτα ἤγουν τὰ ιδ λε΄ λε΄ τῶν λε΄ λε΄ β ε΄ ε΄ τοῦ λε΄· τὰ ια γ΄ ιε΄ λε΄ λε΄ μεριζόμενα παρὰ τὰ λε γίνονται δ΄ κε΄ κη΄· λέγε γὰρ δ΄ τῶν λε η Ϛ΄ δ΄, εἰκοστόπεμπτον τῶν λε α γ΄ ιε΄, καὶ τὸ κη΄ τῶν λε α δ΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου σχοινίων σια δ΄ κε΄ κη΄. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
[18]
[1] Ἔστω ἡμικύκλιον ἤτοι ἀψίς, οὗ ἡ περίμετρος σχοινίων ια, ἡ δὲ διάμετρος σχοινίων ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ ια τῆς περιμέτρου· γίνονται οζ· ὧν μέρος δ΄ γίνεται ιθ δ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
[2] Ἄλλο ἡμικύκλιον ἤτοι ἀψίς, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιδ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περιφέρειαν. ποίει οὕτως· τὴν κάθετον τριπλασίασον, πρόσθες τὸ ζ΄ τῆς καθέτου, καὶ εὑρήσεις τὴν περιφέρειαν. οἷον ἔστω ἡ κάθετος τοῦ παρόντος ἡμικυκλίου σχοινίων ζ· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται κα· τούτοις πρόσθες καὶ τὸ ζ΄ τῶν ζ ἤτοι α· γίνονται κβ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου.
[3] Ἄλλως. σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον· γίνονται κα· τούτοις καθόλου προστίθει τὸ κα΄· γίνεται α· ὁμοῦ κβ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ περίμετρος τοῦ ἡμικυκλίου.
[4] Ἀψῖδα μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες ρϚ· τούτους ἑνδεκαπλασίασον· γίνονται πόδες ϚβρνϚ· ὧν τὸ κη΄· γίνονται πόδες οζ· τοσούτων ποδῶν ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[4a] Τὸ δὲ ἐμβαδὸν αὐτοῦ εὑρεῖν ἀπὸ μόνης τῆς βάσεως. ποίει οὕτως· τὰ ιδ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις ϚβρνϚ· τούτων μέρος κη΄ γίνεται οζ· τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου.
[5] Ἄλλως. τὰ ιδ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὸ ζ΄ ιδ΄, τουτέστι τὰ μβ· λοιπὰ ρνδ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται οζ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
[6] Εἰ δὲ καὶ ἀπὸ τῆς καθέτου θέλεις εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· τοὺς ζ πόδας τῆς καθέτου πολυπλασίασον ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες μθ. τούτους ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες φλθ· ὧν τὸ ζ΄· γίνονται πόδες οζ.
[6a] Ἀπὸ δὲ τῆς καθέτου μόνης τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται φλθ· τούτων τὸ ζ΄· γίνονται οζ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
[7] Ἀπὸ δὲ μόνης τῆς περιφερείας τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ κβ τῆς περιφερείας ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υπδ· ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται Ϛγτπη· τούτων μέρος μδ΄ γίνεται οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
[8] Ἀπὸ δὲ τῆς βάσεως καὶ τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ιδ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται η· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὸ ζ΄ ιδ΄, τουτέστι τὰ κα· λοιπὰ οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου.
[9] Ἄλλως. τὰ ιδ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται η· ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται Ϛαοη· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
[10] Ἀπὸ δὲ τῆς καθέτου καὶ τῆς περιφερείας τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ κβ τῆς περιφερείας· γίνονται ρνδ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίνονται οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
[11] Ἄλλως. τὸ ἥμισυ τῆς καθέτου γίνεται γ Ϛ΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο τῆς περιφερείας· γίνονται οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
[12] Ἀπὸ δὲ τῆς βάσεως καὶ τῆς περιφερείας τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου εὑρεῖν. πολυπλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἤγουν τὰ ιδ ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο· γίνονται τη· τούτων μέρος τέταρτον γίνεται ἑβδομηκονταεπτά· τοσούτων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου.
[13] Ἄλλως. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς περιφερείας, τουτέστι τὰ ζ ἐπὶ τὰ ια· γίνονται οζ· τοσούτων τὸ ἐμβαδόν.
[14] Ἄλλως. τὸ δ΄ τῆς περιφερείας ἐπὶ τὴν βάσιν, ἤγουν τὰ ε Ϛ΄ ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται καὶ οὕτως οζ· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου. ὧν τὸ Ϛ΄ ἔσται ὁ μοδισμός.
[15] Ἀψίδα ἤγουν ἡμικύκλιον μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ κάθετος κατὰ τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ποδῶν γ Ϛ΄, καὶ ἡ περίμετρος ποδῶν ια· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ ια τῆς περιμέτρου· γίνονται πόδες οζ· τούτων τὸ δ΄· γίνονται πόδες ιθ δ΄· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
[16] Ἄλλη μέθοδος τοῦ αὐτοῦ ἐμβαδοῦ. τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτούς· γίνονται πόδες μθ· τούτους ἐπὶ ια· γίνονται πόδες φλθ· ὧν τὸ κη΄· γίνονται πόδες ιθ δ΄.
[19]
[1] Τμῆμα κύκλου ἔλαττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις. σχοινίων ιϚ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων Ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον· γίνονται κβ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ια· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται ξϚ. καὶ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται η· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται δ Ϛ΄ ιδ΄. ταῦτα σύνθες τοῖς ξϚ· γίνονται ο Ϛ΄ ιδ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται λε δ΄ κη΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
[2] Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ τοιούτου τμήματος εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ ιϚ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· καὶ τὰ Ϛ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ταῦτα τετράκις· γίνονται ρμδ· ταῦτα πρόσθες τοῖς σνϚ· γίνονται υ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κ. εἶτα λαβὲ τῶν Ϛ τῆς καθέτου τὸ δ΄· γίνεται α Ϛ΄· τοῦτο πρόσθες τοῖς κ· γίνονται κα Ϛ΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος.
[3] Ἕτερον τμῆμα ἔλασσον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ βάσις σχοινίων ιβ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων δ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· γίνονται ιϚ· ὧν ἥμισυ γίνεται η· ταῦτα ἐπὶ τὰ δ τῆς καθέτου· γίνονται λβ. καὶ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται Ϛ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται β Ϛ΄ ιδ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λβ· γίνονται λδ Ϛ΄ ιδ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ὧν τὸ ἥμισύ ἐστιν ὁ μοδισμός.
[4] Τὴν δὲ περίμετρον τούτου εὑρήσεις οὕτως· πολυπλασίασον τὰ ιβ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· καὶ τὰ δ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ· ταῦτα τετράκις· γίνονται ξδ· ταῦτα πρόσθες τοῖς ρμδ· γίνονται ση· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιδ γ΄ ιβ΄ παρὰ τὸ σύνεγγυς. τούτοις πρόσθες τῶν δ τῆς καθέτου τὸ τέταρτον ἤγουν μονάδα μίαν· γίνονται ιε γ΄ ιβ΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περίμετρος τοῦ τοιούτου τμήματος.
[5] Ἔστω ἔλαττον ἡμικυκλίου, ἡ κάθετος ποδῶν Ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ κάθετον· γίνονται πόδες κ· ὧν Ϛ΄· γίνονται πόδες ι· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες ξ. ἀλλὰ ποιῶ καὶ βάσεως μέρος Ϛ΄· γίνονται πόδες ζ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ· ὧν ιδ΄· γίνονται γ Ϛ΄. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ξ· γίνονται πόδες ξγ Ϛ΄· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ξγ Ϛ΄.
[6] Ἔστω τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου καὶ ἐχέτω τὴν μὲν βάσιν ποδῶν μ, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· πάντοτε συντίθει τὴν διάμετρον καὶ τὴν κάθετον ὁμοῦ· γίνονται πόδες ν· ὕφαιρε καθολικῶς τούτων τὸ δ΄· γίνονται πόδες ιβ Ϛ΄· λοιπὸν μένουσι πόδες λζ Ϛ΄. τούτοις προστίθει καθολικῶς τούτων τὸ δ΄· γίνονται πόδες θ δ΄ η΄· σύνθες ὁμοῦ· γίνονται πόδες μϚ Ϛ΄ δ΄ η΄· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ περίμετρος τοῦ τμήματος. ὑφείλαμεν δὲ δ΄ καὶ προσεθήκαμεν δ΄, ἐπειδὴ ἡ κάθετος τέταρτον μέρος ἐστὶ τῆς βάσεως.
[7] Ἔστω τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου ἔχον τὴν βάσιν ποδῶν η, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν περίμετρον. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες ξδ· καὶ τὴν κάθετον ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες θ· ταῦτα ποιῶ τετράκις· γίνονται πόδες λϚ. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ξδ· γίνονται ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται πόδες ι· ἐξ ὧν ἀφαιρῶ τὰ η τῆς βάσεως· γίνονται β. καὶ ἐπειδὴ ἡ κάθετος ποδῶν γ καὶ ἡ βάσις ποδῶν η, μερίζω τὰ γ τῆς καθέτου παρὰ τὰ η τῆς βάσεως· γίνεται ποδὸς δ΄ η΄. ταῦτα ποιῶ δίς· γίνεται Ϛ΄ δ΄· ταῦτα προστιθῶ τοῖς ι· γίνονται ι Ϛ΄ δ΄, ὅ ἐστιν ἡ περίμετρος τοῦ τμήματος ποδῶν ι Ϛ΄ δ΄.
[8] Τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου μετρεῖται οὕτως· βάσεως πόδες ιβ, καθέτου πόδες δ. συντίθει τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες ιϚ· ὧν τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες η· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες λβ. καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτό· γίνονται πόδες λϚ· τούτων τῶν λϚ τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες β Ϛ΄ ιδ΄· ταῦτα προστίθει τοῖς λβ· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος ποδῶν λδ Ϛ΄ ιδ΄.
[20]
Ἔστω τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιβ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· προσαναπληρούσθω διὰ παντὸς ἡ κάθετος, ἕως οὗ συμπέσῃ τῷ κύκλῳ, καὶ διαιρείτω τὰ τῆς βάσεως σχοινία μέσον· γίνονται Ϛ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται λϚ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὴν κάθετον, τουτέστι παρὰ τὰ θ· γίνονται δ. ἔσται οὖν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος ἡ κάθετος σχοινίων δ· ὥστε ἡ διάμετρος τοῦ ὅλου κύκλου σχοινίων ιγ. ἐὰν οὖν μετρήσωμεν ἔλαττον τμῆμα, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶ σχοινίων ιβ, ἡ δὲ κάθετος σχοινίων δ, μετρήσωμεν δὲ καὶ κύκλον, οὗ ἡ διάμετρός ἐστιν σχοινίων ιγ, ἀφέλωμεν δὲ ἀπὸ τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον τμῆμα, ἕξομεν καὶ τὸ [9] λοιπὸν μέγιστον τμῆμα τοῦ κύκλου μεμετρημένον. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ὅλου κύκλου σχοινίων ιγ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρξθ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛαωνθ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ρλβ Ϛ΄ δ΄ κη΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου κύκλου. ἀπὸ τούτων ὑπεξαιρεθήτω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, ὅπερ ἐστὶ κατὰ τὴν προεκτεθεῖσαν ἔφοδον σχοινίων λδ Ϛ΄ ιδ΄· καὶ τὰ λοιπὰ ἤγουν τὰ η ζ΄ ιδ΄ ἔστω τοῦ μείζονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ἥμισυ ἔσται ὁ μοδισμός.
[10] Τὴν δὲ περίμετρον τοῦ ὅλου κύκλου εὑρεῖν. ποίησον τὴν διάμετρον τρισσάκις· γίνονται λθ· τούτοις πρόσθες καὶ τὸ ζ΄ τῶν ιγ ἤγουν α ΄ ζ΄ κα΄· γίνονται μ ΄ ζ΄ κα΄· τοσούτων σχοινίων ἡ περίμετρος τοῦ κύκλου. ἀπὸ τούτων ὑπέξελε τὸν ἀριθμὸν τῆς περιφερείας τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, ὅς ἐστι κατὰ τὴν προγραφεῖσαν μέθοδον σχοινίων ιε γ΄ ιβ΄· καὶ τὰ περιλιμπανόμενα ἤγουν τὰ κε γ΄ ιβ΄ μβ΄ ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς περιφερείας τοῦ μείζονος τμήματος.
[11] Ἔστω μεῖζον ἡμικυκλίου, ἡ βάσις ποδῶν κδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ιϚ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες τπδ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες Ϛδσκδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες τα Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
[4a] Ἕτερον τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ βάσις σχοινίων κδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἤχθω κάθετος διὰ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν βάσιν, ἥτις ἐστὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ μετρηθεῖσα ἔστω σχοινίων ιϚ, καὶ προσαναπληρούσθω ὁ κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ κάθετος καὶ διαιρείτω εἰς δύο μέρη τὰ τῆς βάσεως, ὡς εἶναι τὰ τοῦ ἑνὸς τμήματος σχοινία ιβ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ταῦτα μέρισον παρὰ τὰ ιϚ τῆς καθέτου· γίνονται θ· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ ἐπιβληθεῖσα τῇ καθέτῳ· ὡς εἶναι ὁμοῦ τὴν ὅλην κάθετον ἤτοι διάμετρον σχοινίων κε. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε· ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ϚϚωοε· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται υα ιδ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[5] Ἐὰν δὲ θέλῃς διαστεῖλαι καὶ γνῶναι ἰδίως τοῦ τε μείζονος καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· μέτρει τμῆμα κύκλου ἧττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων κδ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων θ, κατὰ τὸ προγραφὲν ὑπόδειγμα, καὶ τὸ γινόμενον ἐξ αὐτοῦ ἐμβαδὸν ὕφειλον ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου, καὶ τὸ ὑπολιμπανόμενον μέτρον ἔστω τοῦ μείζονος τμήματος.
[6] οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον τοῦ ἥττονος ἡμικυκλίου, τουτέστι τὰ κδ καὶ θ· γίνονται λγ· ὧν τὸ ἥμισυ· γίνονται ιϚ Ϛ΄· ταῦτα ἐπὶ τὰ θ τῆς καθέτου· γίνονται ρμη Ϛ΄. καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ιβ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται ι δ΄ κη΄· ταῦτα πρόσθες τοῖς ρμη Ϛ΄· γίνονται ρνη Ϛ΄ δ΄ κη΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἥττονος ἡμικυκλίου. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τοῦ ὅλου ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου ἤγουν ἀπὸ τῶν υα καὶ τοῦ ιδ΄· καὶ ὑπολιμπάνονται τλβ δ΄ κη΄, ἅτινα ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος τμήματος.
[7] Ἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ τε μείζονος καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος τὴν περιφέρειαν εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ κδ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φοϚ· καὶ τὰ θ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· ταῦτα τετράκις· γίνονται τκδ. ταῦτα σύνθες τοῖς φοϚ· γίνονται ὁμοῦ Ϡ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λ· ἐξ ὧν ὕφειλον τὰ τῆς βάσεως κδ σχοινία· λοιπὰ Ϛ. καὶ ἐπειδήπερ ἡ μὲν κάθετός ἐστιν σχοινίων θ, ἡ δὲ βάσις σχοινίων κδ, ποίει οὕτως· τὰ θ τῆς καθέτου πόστον μέρος ἐστὶ τῶν κδ τῆς βάσεως; ἔστιν οὖν γ η΄· τῶν τοίνυν ἓξ λαβὲ τὸ γ η΄· γίνονται β δ΄· ταῦτα σύνθες τοῖς λ· γίνονται λβ δ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων τοῦ ἐλάττονος τμήματος ἡ περίμετρος. καὶ ἐπειδὴ ἡ τοῦ ὅλου κύκλου περίμετρός ἐστιν σχοινίων οη Ϛ΄ ιδ΄, ὕφειλον ἐξ αὐτῶν τὰ λβ δ΄· καὶ τὰ περιλιμπανόμενα ἤγουν τὰ μϚ δ΄ ιδ΄ ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ μείζονος τμήματος.
[8] Ἔστω τμῆμα ἡμικυκλίου μεῖζον καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν ποδῶν κ, τὴν δὲ πρὸς ὀρθὰς ἤτοι κάθετον ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου, προσαναπληρῶ τὸν κύκλον καὶ εὑρίσκω τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τὴν κάθετον οὕτως· λαμβάνω τὸ Ϛ΄ τῆς βάσεως· γίνονται πόδες ι· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα μερίζω παρὰ τοὺς λ τῆς καθέτου· γίνονται πόδες γ γ΄· ταῦτα προστιθῶ τοῖς λ· γίνονται λγ γ΄. αἴρω ἀπὸ τούτων τὰ λ· λοιπὸν μένει πόδες γ γ΄· ἔστω τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τὸ ὕψος ποδῶν γ γ΄, τουτέστιν ἡ κάθετος. ἄρτι [9] εὑρίσκω ὅλου τοῦ κύκλου τὸ ἐμβαδόν· γίνεται ποδῶν ωογ, ὡς προδέδεικται. καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος εὑρίσκω τὸ ἐμβαδόν, ὡς προέδειξα, καὶ αἴρω ἀπὸ ὅλου τοῦ κύκλου· καὶ τὸ λοιπὸν ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος τμήματος, καθὼς προεῖπον.
[8a] Ἄλλο τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων κ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· ἐπειδήπερ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμικυκλίου, προσαναπλήρου τὸν κύκλον, καὶ εὑρήσεις τοῦ ἐλάττονος τμήματος τὸ ὕψος τῆς καθέτου. καὶ λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται ι· ταῦτα πολυπλασίασον ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα μέρισον εἰς τὰ λ· γίνονται γ γ΄· ταῦτα πρόσθες τοῖς λ· γίνονται λγ γ΄· τοσούτων ἔσται σχοινίων ἡ κάθετος ἤτοι διάμετρος τοῦ ὅλου κύκλου, ἤγουν τοῦ μὲν μείζονος τμήματος σχοινίων λ, τοῦ δὲ ἥττονος [9a] σχοινίων γ γ΄. εὑρίσκεται τοίνυν τοῦ ὅλου κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος σχοινίων ωογ καὶ λεπτοῦ ἑξηκοστοτρίτου ἑνός. ὁμοίως εὑρίσκεται καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος σχοινίων μϚ καὶ λεπτῶν ἑξηκοστοτρίτων β. εἶτα ὑπεξαιρεῖται ἀπὸ τοῦ ὅλου κύκλου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάττονος τμήματος, καὶ τὸ ὑπολιμπανόμενον ἔσται τοῦ μείζονος τμήματος.
[10] Ὅλου δὲ τοῦ κύκλου τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις οὕτως· τὰ λγ γ΄ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛαρια θ΄· ταῦτα ἀεὶ δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται Ϛβσκβ Ϛ΄ ιη΄· ὧν ἀεὶ τὸ ιδ΄· γίνονται ωογ καὶ ξγ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὅλου κύκλου.
[11] Τοῦ δὲ ἐλάττονος τμήματος τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις οὕτως· σύνθες τούτου τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ κ καὶ γ γ΄· γίνονται κγ γ΄· τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίνονται ια ΄. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ γ γ΄ τῆς καθέτου· γίνονται λη ΄ Ϛ΄ ιη΄. εἶτα λαβὲ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως· γίνονται ι· ταῦτα πολυπλασίασον ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται ζ ζ΄· ταῦτα σύνθες τοῖς λη ΄ Ϛ΄ ιη΄· γίνονται μονάδες μϚ καὶ λεπτὰ ἑξηκοστότριτα β· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάττονος τμήματος· ὧν ὑφελομένων ἀπὸ τοῦ ὅλου κύκλου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν ωογ καὶ τοῦ ἑνὸς ἑξηκοστοτρίτου, ὑπολιμπάνονται σχοινία ωκζ παρὰ λεπτὸν ἑξηκοστότριτον α, ἅτινά εἰσι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος τμήματος.
[12] Τὴν δὲ περίμετρον τοῦ ὅλου κύκλου εὑρεῖν. ποίησον τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ ζ΄· γίνονται ρδ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ κα΄· ἐξ ὧν τοῦ ἐλάττονος τμήματος τὴν περιφέρειαν· καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται τοῦ μείζονος τμήματος ἡ περιφέρεια.
[13] εὑρήσεις δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος τὴν περιφέρειαν οὕτως· πολυπλασίασον τὰ κ τῆς βάσεως ἐφ' ἑαυτά· γίνονται υ· ὁμοίως καὶ τὰ γ γ΄ τῆς καθέτου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ια θ΄· ταῦτα τετράκις· γίνονται μδ γ΄ θ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς υ· γίνονται ὁμοῦ υμδ γ΄ θ΄· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται κα ιβ΄ παρὰ τὸ σύνεγγυς· τούτοις πρόσθες τὸ τέταρτον τῆς καθέτου, ὅ ἐστιν Ϛ΄ γ΄· γίνονται κα Ϛ΄ γ΄ ιβ΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἐλάττονος τμήματος. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν ρδ καὶ τοῦ Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄ κα΄· λοιπὰ πβ Ϛ΄ γ΄ πδ΄· τοσούτων σχοινίων ἔσται καὶ ἡ τοῦ μείζονος τμήματος περιφέρεια.
[14] Τμήματος δὲ κύκλου ὑποκειμένου καὶ τῆς βάσεως ὑπεστρωμένης καὶ φανερᾶς οὔσης καὶ τῆς καθέτου, ἥτις καὶ πρὸς ὀρθὰς καλεῖται, ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθείσης καὶ ἐστηριγμένης εὑρεῖν, πότερον ἡμικύκλιόν ἐστιν ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον τοῦ ἡμικυκλίου. εὑρίσκεται δὲ οὕτως· ἐὰν ἡ πρὸς ὀρθὰς ἴση τῷ ἡμίσει μέρει τῆς βάσεως τυγχάνῃ, ἡμικύκλιόν ἐστι πλῆρες, ἐὰν δὲ μείζων, τοῦ ἡμικυκλίου μεῖζον, ἐὰν δὲ ἐλάσσων, ἔλασσον.
[21]
[1] Δύο δὲ κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν μετρήσαντι ἅμα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντι μετὰ τοῦτο ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα. οἷον ἔστωσαν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κύκλοι δύο, ὁ μὲν μείζων, ὁ δὲ ἐλάττων, καὶ ἡ μὲν τοῦ μείζονος κύκλου διάμετρος ἔστω σχοινίων κϚ, ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος σχοινίων ιδ. ἐὰν οὖν μετρήσωμεν ἑκάτερον κύκλον καὶ ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάττονα, ἕξομεν καὶ τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον μεμετρημένον. οἷον ἔστω τοῦ μείζονος κύκλου ἡ διάμετρος σχοινίων κϚ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χοϚ· ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ϚζυλϚ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται φλα ζ΄· τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου.
[2] ὁμοίως ἔστω καὶ ἡ τοῦ ἐλάττονος κύκλου διάμετρος σχοινίων ιδ. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ϚβρνϚ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ρνδ· τοσούτων ἔσται σχοινίων καὶ τοῦ ἐλάττονος κύκλου τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν οὖν ἀφέλωμεν τὰ ρνδ ἀπὸ τῶν φλα ζ΄, ὑπολιμπάνονται τοζ ζ΄, ἅπερ εἰσὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν τῶν δύο κύκλων χωρίου. καλεῖται δὲ τὸ τοιοῦτον ἴτυς.
[3] Ἔχει ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον λόγον, οἷον κβ πρὸς ζ.
ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος μονάδων ιδ, καὶ χρῇ τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέτρου εὑρεῖν, δεῖ ποιήσαντας τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων τὸ ζ΄ λαβόντας τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὴν περιφέρειαν. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου μονάδων ιδ. ταῦτα εἰκοσάκις καὶ δίς· γίνονται τη· τούτων τὸ ζ΄· γίνονται μδ· ἔσται οὖν ἡ τοῦ κύκλου περίμετρος μονάδων μδ.
[4] Πάλιν, ἐὰν δοθῇ ἡ περιφέρεια μονάδων μδ, καὶ χρῇ τὴν διάμετρον ἀπὸ τῆς περιμέτρου εὑρεῖν, δεῖ ποιήσαντας τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν ἐκ τούτων γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντας τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὴν διάμετρον. οἷον ἔστω ἡ τοῦ κύκλου περίμετρος μονάδων μδ. ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται τη· τούτων τὸ κβ΄· γίνονται ιδ· καὶ ἔστιν ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος μονάδων ιδ.
[5] Δοθείσης τῆς περιμέτρου καὶ τῆς διαμέτρου ἐν ἀριθμοῖς τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου καὶ τῆς διαμέτρου τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς περιμέτρου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιον. ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ περιφέρεια μονάδων μδ καὶ ἡ διάμετρος μονάδων ιδ, καὶ λαβόντες τὰ ιδ τῆς διαμέτρου πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὰ μδ τῆς περιμέτρου, καὶ τῶν γενομένων τὸ τέταρτον ληψόμεθα· ἔστι δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτου ἐροῦμεν εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[3a] ὥστε, ἐὰν ᾖ τοῦ κύκλου, εἰ τύχοι, ἡ διάμετρος μονάδων ιδ, δεῖ ποιήσαντα τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων τὸ ζ΄ λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τοσούτων τὴν περιφέρειαν· ἔστι δὲ μδ.
[4a] Καὶ πάλιν, ἐὰν δοθῇ ἡ περιφέρεια μδ, καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσαντες τὰ μδ ἑπτάκις τῶν γινομένων τὸ κβ΄ ἕξομεν τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ δεκατέσσαρες.
[5a] Δείκνυσι δὲ ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου. ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ περιφέρεια μονάδων μδ, λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· ἔστι δὲ μονάδες ζ· πολυπλασιάζομεν ἐπὶ τὰ μδ καὶ τῶν γενομένων τὸ Ϛ΄ ληψόμεθα· ἔστι δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτων ἐροῦμεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[6] Ἐὰν δὲ λάβωμεν τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ, ὅ ἐστι μονάδες ἑπτά, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὰ μδ τῆς περιμέτρου καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ ληψόμεθα· ἔστι δὲ καὶ οὕτως μονάδες ρνδ· τοσούτου ἀποφαινόμεθα εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ἔστιν οὖν τῷ κύκλῳ ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ τοῦ ἡμίσεος τῆς περιφερείας. ὥστε, ἐὰν λάβωμεν τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου, ὅ ἐστι μονάδες ζ, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς περιφερείας, τουτέστιν ἐπὶ τὰ εἰκοσιδύο· γίνεται δὲ καὶ οὕτως ρνδ· τοσούτου ἐροῦμεν εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[7] Ὁμοίως καὶ τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τοῦ τετάρτου τῆς περιφερείας ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ. τῆς γὰρ διαμέτρου οὔσης μονάδων ιδ καὶ τῆς περιμέτρου μονάδων μδ, ἐὰν λάβωμεν τῆς περιμέτρου τὸ τέταρτον, ὅ ἐστι μονάδες ια, καὶ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὴν ὅλην διάμετρον ἤγουν ἐπὶ τὰ ιδ· ἔστι δὲ καὶ οὕτως ρνδ· τοσούτου ἐροῦμεν εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.
[8] Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον ποιήσασθαι, δεῖ λαβόντας τὸ ια΄ μέρος τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦτο ποιήσαντας τεσσαρεσκαιδεκάκις, εἶτα τῶν γενομένων πλευρὰν τετραγωνικὴν λαβόντας τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον. οἷον ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δοθέντος χωρίου μονάδων ρνδ. τούτων τὸ ια΄· γίνονται ιδ· ταῦτα τεσσαρεσκαιδεκάκις· γίνονται ρϚ· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ιδ· ἔσται οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου μονάδων ιδ, ἐκ δὲ τῆς διαμέτρου δῆλος ὁ κύκλος ἐκ τῶν προειρημένων.
[9] Δοθέντων συναμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν ἤγουν τῆς διαμέτρου, τῆς περιμέτρου καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου ἐν ἀριθμῷ ἑνὶ διαστεῖλαι καὶ εὑρεῖν ἕκαστον ἀριθμόν. ποίει οὕτως· ἔστω ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς μονάδες σιβ. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ ρνδ· γίνονται μυριάδες γ καὶ Ϛβχμη. τούτοις προστίθει καθολικῶς ωμα· γίνονται μυριάδες τρεῖς καὶ Ϛγυπθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ρπγ· ἀπὸ τούτων κούφισον κθ· λοιπὰ ρνδ· ὧν μέρος [10] ια΄ γίνεται ιδ· τοσούτου ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὴν περιφέρειαν εὑρεῖν, ὕφειλον τὰ κθ ἀπὸ τῶν ρπγ· λοιπὰ ρνδ· ταῦτα ποίησον δίς· γίνονται τη· τούτων λαβὲ μέρος ζ΄· γίνονται μδ· τοσούτου ἡ περίμετρος. τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὰ ιδ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ μδ τῆς περιμέτρου· γίνονται χιϚ· τούτων λαβὲ μέρος τέταρτον· γίνονται ρνδ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁμοῦ τῶν τριῶν ἀριθμῶν μονάδες σιβ.
[11] Δοθέντος κύκλου ἐντὸς τετραγώνου καὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου οὔσης μονάδων ζ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τῶν ἔξωθεν τοῦ κύκλου δ τμημάτων τοῦ τετραγώνου. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ὧν τὸ ζ΄ ιδ΄· γίνονται ι Ϛ΄· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τῶν ἔξω τοῦ κύκλου τεσσάρων τμημάτων τοῦ τετραγώνου.
[12] Ἄλλως. τὰ ζ τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται ρμζ· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ι Ϛ΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τῶν τεσσάρων τμημάτων.
[13] Ἑνὸς δὲ ἑκάστου τμήματος τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσεις οὕτως· λαβὲ τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται γ Ϛ΄· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιβ δ΄· ταῦτα τρισσάκις· γίνονται λϚ Ϛ΄ δ΄· τούτων μέρος ιδ΄ γίνεται β Ϛ΄ η΄· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν ἑνὸς ἑκάστου τμήματος.
[14] Πενταγώνιον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν λε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ λε ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϛασκε· ταῦτα δὴ δωδεκάκις· γίνονται Ϛδψ· ὧν τὸ ζ΄· γίνονται Ϛβρ· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδόν.
[15] Ἐν ἄλλῳ βιβλίῳ τοῦ Ἥρωνος εὑρέθη οὕτως· ἔστω ἑκάστη πλευρὰ ποδῶν δέκα· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· γίνονται φ· ὧν τὸ γ΄· γίνονται ρξϚ ΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.
[16] Ἑξάγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ταῦτα ἀεὶ τρισκαιδεκάκις· γίνονται Ϛαψ· ὧν τὸ ε΄· γίνονται Ϛβτμ· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγωνίου.
[17] Ἄλλως ἐν ἄλλῳ βιβλίῳ. ἔστω ἡ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου ποδῶν λ. ποίει τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται Ϡ· τούτων τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ· ταῦτα ἑξάκις· γίνονται Ϛβτμ· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου. οὗτος γὰρ ἀκριβέστερος· τριγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τῇ μεθόδῳ ἐμέρισε τὸ ἑξάγωνον καὶ ἔστησε τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. οὕτως κεῖται καὶ εἰς τὰ πλάτη τοῦ Ἥρωνος.
[18] Ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ μγ· γίνονται Ϛδτ· ὧν τὸ ιβ΄· γίνονται τνη γ΄· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.
[19] Ὀκταγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα δὲ ἐπὶ τὰ κθ· γίνονται βϠ· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται υπγ γ΄· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.
[20] Ἐνναγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ να· γίνονται Ϛερ· τούτων τὸ η΄· γίνονται χλζ Ϛ΄· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐνναγώνου.
[21] Δεκαγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται πόδες Ϛαφ· τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες ψν· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.
[22] Ἑνδεκαγώνιον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ· γίνονται πόδες ϚϚχ· τούτων τὸ ζ΄· γίνονται πόδες Ϡμβ Ϛ΄ γ΄ μβ΄· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.
[23] Δωδεκαγώνιον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρ· ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ με· γίνονται Ϛδφ· ὧν τὸ δ΄· γίνονται Ϛαρκε· τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δωδεκαγώνου.
[24] Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὐκ ἔστιν ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρούμενα μετρεῖται. τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων, ὅσα δύνανται μετρεῖσθαι, ἐν τοῖς προλαβοῦσι κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐξεθέμεθα.
[25] Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει δείκνυσιν, ὡς ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίνεται ὡς ἔγγιστα δεκατέσσαρσι κύκλοις· ὥστε, ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν ι, δεήσει τὰ ι ἐφ' ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὰ ια, καὶ τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται οη Ϛ΄ ιδ΄· τοσούτων ἀποφαίνεσθαι χρὴ τοῦ κύκλου τὸ ἐμβαδόν.
[26] Παραληφθέντος χωρίου ἄνισα πλάτη ἔχοντος καὶ εἰς μῆκος πολλαπλάσιον ἐκτεινομένου, ἐπί τι μέρος πλάτους ποδῶν ζ, προιόντα πάλιν ποδῶν ε, ἔτι προιόντα ποδῶν γ, εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τοῦς γ τόπους· γίνονται ιε· τούτων κράτει τὸ τρίτον μέρος· γίνονται ε· ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος, εἰσὶ δὲ τοῦ μήκους πόδες κ, γίνονται ρ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἀνισοπλατοῦς χωρίου.
[27] Ἐὰν δὲ τοῦ αὐτοῦ χωρίου εἰς πλείονας τόπους δεήσῃ λαβεῖν τὰ πλάτη διὰ τὸ διαφόρως αὐτὸ εἶναι εἰς πλείονας τόπους ἄνισον, ὁσάκις ἐὰν λάβῃς τὰ πλάτη, συνθήσας ταῦτα τοσαύτην μοῖραν λαβὼν ποίει ἐπὶ τὸ μῆκος. οἷον, ἐὰν πεντάκις μετρήσῃς, τῶν συντεθέντων τὸ ε΄ κράτει, ἐὰν ἑπτάκις, τὸ ζ΄· καὶ οὕτως ἐφεξῆς τὸ συναγόμενον ἐπὶ τὸ μῆκος ποίει, ὡς προείρηται.
Πεπλήρωται ἡ τῶν ἐπιπέδων κατὰ ἔκθεσιν Ἥρωνος μέτρησις.
Προσθήκη Μακαρίου λαμπροτάτου θεωρήματος.
[28] Εἰ ἀπὸ ἐμβαδοῦ τινος θέλω συστήσασθαι τρίγωνον ἰσόπλευρον, ποιῶ οὕτως· τριακοντάκις τὸ προβληθὲν ἐμβαδόν, καὶ τῶν γινομένων λαβὼν μερίδα ιγ΄ τὸν ἐφ' ἑαυτὴν πολυπλασιασμὸν τῆς τοῦ τριγώνου πλευρᾶς εἶναι ἡγοῦμαι· εἶτα τούτου τὸν τετραγωνισμὸν ποιῶν σαφῶς ἔχω τὸν ἀριθμὸν τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.
[29] Τοῦ αὐτοῦ.
Ἔτι τριγώνου ἰσοπλεύρου ἡμῖν προβεβλήσθω κάθετος ἔχουσα μονάδας Ϛ πρὸς τοῖς κ. ἐὰν ἀπὸ ταύτης θέλω εὑρεῖν τὸ ποσὸν μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς, ποιῶ οὕτως· τὴν κάθετον ἀεὶ ἐπὶ τὰ δύο· εἶτα τῶν γινομένων μερίδα γ΄ λαμβάνων προστίθεμαι ταῖς κατὰ τὴν κάθετον μονάσι καὶ οὕτως ἀποφαίνομαι τὴν πλευρὰν τοῦ τριγώνου, πόσων ἐστὶ μονάδων.
[30] Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ὀξυγωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης μείζονές εἰσιν ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι.
καὶ παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ ἀμβλυγωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης ἥττονές εἰσι πολυπλασιαζόμεναι πρὸς ἑαυτάς.
καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ τῇ ὑποτεινούσῃ ἴσαι εἰσὶν ἐφ' ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι.
παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι.
καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος.
[22]
[1] Τῶν εὐθυμετρικῶν διαστημάτων μέτρα ἐστὶ τάδε δάκτυλος, παλαιστής, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, ὀργυιά, ἄκενα, πλέθρον, στάδιον, μίλιον· τούτων δὲ ἐλάχιστόν ἐστι δάκτυλος. ἔχει μὲν ὁ παλαιστὴς δακτύλους δ, οὐγγίας γ, ἡ δὲ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ, δακτύλους ιβ, οὐγγίας θ, ὁ δὲ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ, οὐγγίας ιβ. ὁ πῆχυς ἔχει πόδα α Ϛ΄. τὸ βῆμα ἔχει πήχεις β, πόδας γ. ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις δ, πόδας Ϛ. ἡ ἄκενα ἔχει πήχεις Ϛ , πόδας ι. τὸ δὲ πλέθρον τὸ εὐθυμετρικὸν ἔχει πήχεις ξϚ , πόδας ρ. τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ, ὀργυιὰς ρ, πήχεις υ, πόδας χ. τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζ Ϛ΄, πόδας Ϛδφ, τὸ δὲ Ῥωμαϊκὸν μίλιον ἔχει πόδας Ϛευ τὸ καλούμενον παρ' αὐτοῖς.
[1a] Εἰδέναι χρή, ὅτι ὁ δάκτυλος πρῶτός ἐστιν καὶ ὥσπερ μονάς. ὁ παλαιστὴς δακτύλους ἔχει δ. ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ. ὁ πῆχυς ἔχει πόδα α Ϛ΄, τουτέστι παλαιστὰς Ϛ, δακτύλους κδ. τὸ βῆμα ἔχει πῆχυν α καὶ πόδα α, ὅ ἐστι πόδας β Ϛ΄, παλαιστὰς ι, δακτύλους μ. ἡ ὀργυιὰ ἔχει βήματα β καὶ πόδα α, ὅ ἐστι πήχεις δ, τουτέστι πόδας Ϛ, παλαιστὰς κδ, δακτύλους Ϛ. ἡ ἄκενα ἔχει ὀργυιὰν α ΄, ὅ ἐστι βήματα τέσσαρα, τουτέστι πήχεις Ϛ παὶ πόδα α, τουτέστι πόδας ι, παλαιστὰς μ, δακτύλους ρξ. τὸ πλέθρον ἔχει ἀκένας ι· γίνονται ὀργυιαὶ ιϚ πόδες δ, τουτέστι βήματα μ ἢ πήχεις ξϚ καὶ ποὺς α· πόδας ρ, παλαιστὰς υ. τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ, ἀκένας ξ, ὀργυιὰς ρ, βήματα σμ, πήχεις υ, πόδας χ. τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζ ἥμισυ, πλέθρα με, ἀκένας υν, ὀργυιὰς ψν, βήματα Ϛαω, πήχεις Ϛγ, πόδας Ϛδφ.
[2] Τοῦ δὲ ποδός ἐστιν εἴδη γ, εὐθυμετρικός, ἐπίπεδος, στερεός. εὐθυμετρικὸς μέν ἐστιν ὁ ἔχων μῆκος καὶ πλάτος· τούτου δὲ τὸ μῆκος καταμετρεῖται. ἐπίπεδος δέ ἐστιν ὁ ἔχων μῆκος ποδὸς α, πλάτος ποδὸς α· τούτου δὲ τὰ ἐπίπεδα σχήματα καταμετρεῖται. ὁ δὲ στερεὸς ποὺς ἔχει μῆκος ποδὸς α, πλάτος ποδὸς α, πάχος ποδὸς α· τούτου δὲ τὰ στερεὰ σχήματα καταμετρεῖται. χωρεῖ δὲ ὁ στερεὸς ποὺς κεράμιον α, μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν Ἰταλικῶν ἀριθμῷ ιϚ.
[3] Τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ· ὧν λ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν. ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· καὶ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄ ἐφ' ἑαυτό· ὕφειλον ἀπὸ τῶν συναχθέντων καὶ τῶν καταλειφθέντων ποίει πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔστω ἡ κάθετος.
[4] Ἐὰν δὲ ζητήσωμεν ἄλλου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν οἱουδηποτοῦν, πάντοτε ποίει τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον· ὧν Ϛ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[5] Τετραγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· καὶ ἕξεις τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ τὴν διαγώνιον τοῦ αὐτοῦ τετραγώνου, δὶς τὸ ἐμβαδόν· ὧν πλευρὰ τετραγωνική.
[6] Τετραγώνου ἑτερομήκους τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐπὶ τὴν πλευράν· ἔστω τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ τὴν διαγώνιον τοῦ αὐτοῦ ἑτερομήκους, ἑκάστην πλευρὰν ἐφ' ἑαυτὴν μίξας· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ἔστω ἡ διαγώνιος.
[7] Πενταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· ὧν γ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[8] Ἑξαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ· ὧν γ΄ καὶ ι΄ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
[9] Ἑπταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· ὧν ιβ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[10] Ὀκταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ κθ· ὧν Ϛ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[11] Ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ να· ὧν η΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[12] Δεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε· ὧν Ϛ΄ ἔσται τὸ ἐμβαδόν. ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ λη· ὧν ε΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν. αὕτη ἡ ἀκριβεστέρα ἐστίν.
[13] Ἑνδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ· ὧν ζ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[14] Δωδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν πλευρὰν ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ με· ὧν δ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[15] Κύκλου ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· ὧν ιδ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[16] Κύκλου τὴν περίμετρον εὑρεῖν. τὴν διάμετρον τριπλασίασον καὶ πρόσβαλε τὸ ζ΄ τῆς διαμέτρου· καὶ ἕξεις τὴν περίμετρον. ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ κβ πολυπλασιάσας μέριζε· ὧν ζ΄.
[17] Ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει τὴν περίμετρον ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ· ὧν πη΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[18] Ἀπὸ περιμέτρου καὶ διαμέτρου, τουτέστιν ἐὰν μίξω τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον, τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ἀπὸ διαμέτρου καὶ περιμέτρου χωρίσαι τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον· ποιῶ οὕτως· τὰς ἀμφοτέρας φωνὰς ἐπὶ τὰ ζ καὶ μέριζε· ὧν κθ΄· ἕξεις τὴν διάμετρον· καὶ τὰ ὑπολειφθέντα ἔστω ἡ περίμετρος. τὸ ἥμισυ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὸ Ϛ΄ τῆς περιμέτρου πολυπλασίασον, καὶ ἕξεις τὸ ἐμβαδόν.
[19] Τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν ἀπὸ τῆς διαμέτρου. τὴν διάμετρον ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ια· ὧν κη΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[20] Τὴν περίμετρον εὑρεῖν. τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ κβ πολυπλασίαζε καὶ μέριζε· ὧν ιδ΄ ἔστω ἡ περίμετρος.
[21] Ἀπὸ τῆς περιμέτρου εὑρεῖν τὴν διάμετρον. τὴν περίμετρον ἐπὶ τὰ ιδ· ὧν κβ΄ ἔστω ἡ διάμετρος.
[22] Ἀπὸ περιμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. τὴν περίμετρον ἐφ' ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ· ὧν μδ΄ ἔστω τὸ ἐμβαδόν.
[23] Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τὴν περίμετρον εὑρεῖν. ποίει τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ μδ καὶ μέριζε· ὧν ζ΄· καὶ τῶν γεναμένων λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔστω ἡ περίμετρος.
[24] Ἀπὸ τοῦ ἐμβαδοῦ τὴν διάμετρον εὑρεῖν. ποίει τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ κη καὶ μέριζε· ὧν ια΄· καὶ τῶν συναχθέντων λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔστω ἡ διάμετρος.
[23]
[1] Ἡ πρώτη γεωμετρία, καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, τὰ περὶ τὴν γεωμετρίαν καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ γὰρ τῆς μετρήσεως ἐπίνοια παρ' Αἰγυπτίοις ηὑρέθη διὰ τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν· πολλὰ γὰρ φανερὰ ὄντα χωρία πρὸ τῆς ἀναβάσεως τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐποίει, πολλὰ δὲ μετὰ τὴν ἀπόβασιν φανερὰ ἐγίνετο, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρῖναι τὰ ἴδια· ἐξ οὗ ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν τῆς ἀπολειπομένης ἀπὸ τοῦ Νείλου γῆς. χρῶνται δὲ τῇ μετρήσει πρὸς ἑκάστην πλευρὰν τοῦ χωρίου ὅτε μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ὅτε δὲ καλάμῳ, ὅτε δὲ πήχει, ὅτε δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν μετρήσεων καὶ τῶν διανομῶν.
[2] Εἰς οὖν τὸν περὶ τῶν μετρήσεων λόγον ἀναγκαῖόν ἐστιν εἰδέναι τὴν τῶν μέτρων ἰδέαν, πρὸς ὃ βούλεταί τις ἀναμετρεῖν, καὶ ἑκάστου σχήματος τὸ εἶδος, καὶ πῶς δεῖ ἀναμετρεῖν. ὑποδείξομεν δὲ πρῶτον τὴν τῶν μέτρων ἰδέαν.
[3] Εὐθυμετρικὸν μὲν οὖν ἐστι πᾶν τὸ κατὰ μῆκος μόνον μετρούμενον, ὥσπερ ἐν ταῖς σκουτλώσεσιν οἱ στροφίολοι καὶ ἐν τοῖς ξυλικοῖς τὰ κυμάτια, καὶ ὅσα πρὸς μῆκος μόνον μετρεῖται.
[4] Ἔστι τῶν μέτρων εἴδη τάδε· δάκτυλος, παλαιστής, διχάς, σπιθαμή, πούς, πυγών, πῆχυς, βῆμα, ξύλον, ὀργυιά, κάλαμος, ἄκενα, ἄμμα, πλέθρον, ἰούγερον, στάδιον, δίαυλον, μίλιον, σχοῖνος, παρασάγγης [ἐλάχιστον δὲ τούτων ἐστὶ δάκτυλος, καὶ πάντα τὰ ἐλάττονα μόρια καλεῖται].
[5] Ὁ μὲν οὖν παλαιστὴς ἔχει δακτύλους δ, ἡ δὲ διχὰς ἔχει παλαιστὰς β, δακτύλους η.
[6] Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ, δακτύλους ιβ· καλεῖται δὲ καὶ [ὁ] ξυλοπριστικὸς πῆχυς.
[7] Ὁ ποὺς ὁ μὲν βασιλικὸς καὶ Φιλεταίρειος λεγόμενος ἔχει παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ, ὁ δὲ Ἰταλικὸς ποὺς ἔχει δακτύλους ιγ γ΄.
[8] Ἡ πυγὼν ἔχει παλαιστὰς ε, δακτύλους κ.
[9] Ὁ πῆχυς ἔχει παλαιστὰς Ϛ, δακτύλους κδ [καλεῖται δὲ καὶ ξυλοπριστικὸς πῆχυς].
[10] Τὸ βῆμα ἔχει πῆχυν α , παλαιστὰς ι, δακτύλους μ.
[11] Τὸ ξύλον ἔχει πήχεις γ, πόδας δ Ϛ΄, παλαιστὰς ιη, δακτύλους οβ.
[12] Ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις δ, πόδας Φιλεταιρείους Ϛ, Ἰταλικοὺς ζ ε΄.
[13] Ὁ κάλαμος ἔχει πήχεις Ϛ , πόδας Φιλεταιρείους ι, Ἰταλικοὺς ιβ.
[14] Τὸ ἄμμα ἔχει πήχεις μ, πόδας Φιλεταιρείους ξ, Ἰταλικοὺς οβ.
[15] Τὸ πλέθρον ἔχει ἀκένας ι, πήχεις ξϚ , πόδας Φιλεταιρείους μὲν ρ, Ἰταλικοὺς δὲ ρκ [ἡ δὲ ἄκενα ἔχει πόδας Φιλεταιρείους ι ἤτοι δακτύλους ρξ].
[16] Τὸ ἰούγερον ἔχει πλέθρα β, ἀκένας κ, πήχεις ρλγ γ΄, πόδας Φιλεταιρείους μὲν μήκους σ, πλάτους ρ, Ἰταλικοὺς δὲ μήκους πόδας σμ, πλάτους ρκ [ὡς γίνεσθαι ἐμβαδοὺς ἐν τετραγώνῳ β Ϛηω].
[17] Τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ, ἀκένας ξ, πήχεις υ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν χ, Ἰταλικοὺς δὲ ψκ.
[18] Τὸ δίαυλον ἔχει στάδια β, πλέθρα ιβ, ἀκένας ρκ, πήχεις ω, πόδας Φιλεταιρείους μὲν Ϛασ, Ἰταλικοὺς δὲ πόδας Ϛαυμ.
[19] Τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζ Ϛ΄, πλέθρα με, ἀκένας υν, πήχεις Ϛγ, πόδας Φιλεταιρείους μὲν Ϛδφ, Ἰταλικοὺς δὲ Ϛευ.
[20] Ἡ σχοῖνος ἔχει μίλια δ, σταδίους λ.
[21] Ὁ παρασάγγης ἔχει μίλια δ, σταδίους λ· ἔστι δὲ τὸ μέτρον Περσικόν.
[22] [Ἀλλὰ ταῦτα μὲν κατὰ τὴν παλαιὰν ἔκθεσιν· τὴν δὲ νῦν κρατοῦσαν δύναμιν ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ λόγου ὑπετάξαμεν].
[23] Τὰ μὲν οὖν εὐθυμετρικὰ εἴδη εἰσὶν ια, δάκτυλος, οὐγκία, παλαιστής, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, ὀργυιά, ἄκενα, πλέθρον, στάδιον· ἐλάχιστον δὲ τούτων ἐστὶ δάκτυλος, καὶ πάντα τὰ ἐλάττονα μόρια καλεῖται.
[24] Ἡ οὐγκία ἔχει δακτύλους α γ΄.
[25] Ὁ παλαιστὴς ἔχει δακτύλους δ, οὐγκίας γ.
[26] Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ, δακτύλους ιβ.
[27] Ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ.
[28] Ὁ πῆχυς ἔχει παλαιστὰς Ϛ, δακτύλους κδ.
[29] Τὸ βῆμα ἔχει παλαιστὰς ι, δακτύλους μ.
[30] Ἡ ὀργυιὰ ἔχει δακτύλους Ϛ, πόδας Ϛ.
[31] Ἡ ἄκενα ἔχει δακτύλους ρξ, πόδας ι Φιλεταιρείους· καλεῖται δὲ ῥωμαϊστὶ περτίκα.
[32] Τὸ πλέθρον ἔχει τὸ Ἑλληνικὸν πόδας ρ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος πόδας ρ ἐν τετραγώνῳ.
[33] Τὸ ἰούγερον ἔχει τὸ Ἑλληνικὸν τὸ μὲν μῆκος πόδας σμ, τὸ δὲ πλάτος πόδας ρκ, ὡς γίνεσθαι ἐμβαδοὺς ἐν τετραγώνῳ πόδας β Ϛηω.
[34] Τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα Ϛ, ἀκένας ξ.
[35] Τὸ μίλιον ἔχει πόδας Ϛε, βήματα Ϛβ, ἀκένας φ.
[36] Ἡ οὐγκία ἔχει ἐν τετραγώνῳ δάκτυλον α θ΄.
[37] Ὁ παλαιστὴς ἔχει ἐν τετραγώνῳ δακτύλους ιϚ, ὁ δὲ στερεὸς παλαιστὴς ἔχει οὐγκίας κζ, δακτύλους ξδ.
[38] Ἡ δὲ τετράγωνος σπιθαμὴ ἔχει οὐγκίας πα, δακτύλους ρμδ· ἡ δὲ στερεὰ σπιθαμὴ ἔχει οὐγκίας ψκθ, δακτύλους Ϛαψκη.
[39] Ὁ ποὺς ὁ τετράγωνος ἔχει οὐγκίας ρμδ, δακτύλους σνϚ, στερεὸς δὲ οὐγκίας Ϛαψκη, δακτύλους ϚδϚ.
[40] Ὁ δὲ στερεὸς πῆχυς ἔχει οὐγκίας Ϛεωλβ, παλαιστὰς σιϚ, δακτύλους αϚγωκδ.
[41] Τὸ βῆμα ἔχει ἐν τετραγώνῳ παλαιστὰς ρ, οὐγκίας Ϡ, δακτύλους Ϛαχ.
[42] Ἡ τετράγωνος ὀργυιὰ ἔχει πόδας λϚ, ἡ δὲ τετράγωνος ἄκενα ἔχει πόδας ρ.
[43] Τὸ μίλιον ἔχει σταδίους ζ Ϛ΄.
[44] Ἡ σχοῖνος ἔχει σταδίους μη.
[45] Ὁ παρασάγγης ἔχει σταδίους ξ.
[46] Ὁ σταθμὸς ἔχει σταδίους κ.
[47] Ὁ Ὀλυμπιακὸς ἀγὼν ἔχει ἱπποδρόμιον ἔχον σταδίους η, καὶ τούτου ἡ μὲν πλευρὰ ἔχει σταδίους γ καὶ πλέθρον α, τὸ δὲ πλάτος πρὸς τὴν ἄφεσιν στάδιον α καὶ πλέθρα δ· ὁμοῦ πόδες Ϛδω. καὶ πρὸς τῷ ἡρῴῳ τῷ λεγομένῳ Ταραξίππου κάμπτοντες τρέχουσιν οἱ μὲν ἡλικιῶται πάντες σταδίους Ϛ, αἱ συνωρίδες αἱ μὲν πωλικαὶ κύκλους γ, αἱ δὲ τέλειαι η, ἅρματα τὰ μὲν πωλικὰ κύκλους η, τὰ δὲ τέλεια κύκλους ιβ.
[48] Τὸ οὖν δεδηλωμένον ἐπεὶ τοσοῦτον ἔχει, ἀναγκαῖόν ἐστι τῶν μέτρων δηλῶσαι μεθόδους, οἱ πόσοι πήχεις πόσας δύνανται ὀργυιὰς ποιεῖν, οὕτως· ἡ ὀργυιὰ ἡ εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους Ϛ, πόδας Ϛ, πήχεις δ, σπιθαμὰς η.
[49] Ἄκενα εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους ρξ, πόδας ι, πήχεις Ϛ , παλαιστὰς μ, σπιθαμὰς ιγ γ΄, ὀργυιὰν α .
[50] Πλεθρία εὐθυμετρικὴ ἔχει δακτύλους Ϛαχ, πόδας ρ, πήχεις ξϚ , παλαιστὰς υ, σπιθαμὰς ρλγ γ΄, ὀργυιὰς ιϚ , ἀκένας ι.
[51] Πλινθίον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους Ϛβυ, πόδας ρν, πήχεις ρ, παλαιστὰς χ, σπιθαμὰς σ, ὀργυιὰς κε, ἀκένας ιε, πλέθρον α Ϛ΄.
[52] Στάδιον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους Ϛθχ, πόδας χ, πήχεις υ, παλαιστὰς Ϛβυ, σπιθαμὰς ω, ὀργυιὰς ρ, ἀκένας ξ, πλέθρα Ϛ, πλινθία δ.
[53] Μίλιον εὐθυμετρικὸν ἔχει δακτύλους ζϚβ, πόδας Ϛδφ, πήχεις Ϛγ, παλαιστὰς αϚη, σπιθαμὰς ϚϚτοε, ὀργυιὰς ψν, ἀκένας υν, πλέθρα με, πλινθία λ, στάδια ζ Ϛ΄. φασὶ δὲ καὶ τὸ βῆμα ἔχειν πήχεις β, ὡς καὶ ἐν τούτῳ ἐπίστασθαι.
[54] Εἰ δὲ θέλεις εἰς τὰ μέτρα παρεμβαλεῖν τι, σχοῖνος εὐθυμετρικός, ἣν οἱ Αἰγύπτιοι πλειονεσ προσαγορεύουσιν Ϡ ὁ παρασάγγης ἔχει δακτύλων κη μυριάδας Ϛη· γίνονται πήχεις αϚβ, πόδες αϚη, σπιθαμαὶ βϚδ, παλαισταὶ ζϚβ, ὀργυιαὶ Ϛγ, ἄκεναι Ϛαω, πλέθρα ρπ, πλινθία ρκ, στάδια λ, μίλια δ. Περὶ μέτρων καὶ σταθμῶν ὀνομασίας.
[55] Πᾶν τάλαντον ἰδίας ἔχει μνᾶς ξ, ἡ δὲ μνᾶ στατῆρας κε, ὁ δὲ στατὴρ δραχμάς, αἵ εἰσιν ὁλκαί, δ· ἔχει οὖν τὸ τάλαντον μνᾶς μὲν ξ, στατῆρας δὲ Ϛαφ, δραχμὰς δὲ ϚϚ. ἡ δὲ δραχμὴ ὀβολοὺς ἔχει Ϛ, ὁ δὲ ὀβολὸς χαλκοῦς η· ἔχει οὖν ἡ δραχμὴ χαλκοῦς μη.
[56] Τὸ Ἀττικὸν τάλαντον ἰσοστάσιον μὲν τῷ Πτολεμαικῷ καὶ Ἀντιοχικῷ καὶ ἰσάριθμον ἐν πᾶσι, δυνάμει δὲ τοῦ μὲν Πτολεμαικοῦ κατὰ τὸ νόμισμα τετραπλάσιον, ἐπίτριτον δὲ τοῦ Ἀντιοχικοῦ, τῷ δὲ Τυρίῳ ἴσον. ἀναλόγως δὲ τῇ περὶ τὸ τάλαντον εἰρημένῃ διαφορᾷ καὶ τἆλλα παραληφθήσεται· μνᾶ τε γὰρ μνᾶς καὶ στατὴρ στατῆρος καὶ δραχμὴ δραχμῆς ταὐτὰ διοίσει, ὅσην αἱρεῖ ἐπὶ τοῦτο διαφοράν.
[57] Οἶδα δὲ καὶ ξυλικὸν ἐν Ἀντιοχεία τάλαντον ἕτερον, ὃ μνᾶς μὲν ἰδίας ἔχει ξ, ἑξαπλάσιον δὲ σχεδὸν τῷ τοῦ νομίσματος ἀριθμῷ· τό τε ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ξυλικὸν τῷ πέμπτῳ διαφέρει πρὸς τὸ προειρημένον ἐπιχώριον περιττεῦον.
[58] Τὸ δὲ παρ' Ὁμήρῳ τάλαντον ἴσον ἐδύνατο τῷ μετὰ ταῦτα Δαρεικῷ· ἄγει οὖν τὸ χρυσοῦν τάλαντον Ἀττικὰς δραχμὰς δύο, γράμματα Ϛ, τετάρτας δηλαδὴ τέσσαρες.
[59]
Οὐ λανθάνει δέ με καὶ τῶν δραχμῶν εἶναι πλείους διαφοράς· τήν τε γὰρ Αἰγιναίαν καὶ τὴν Ῥοδίαν μνᾶν τῆς Πτολεμαικῆς εἶναι πενταπλάσιον, ἑξαπλασίαν δὲ τὴν νησιωτικὴν οὕτω προσαγορευομένην.
[60] Τῇ οὖν Ἀττικῇ πρός τε σταθμὸν καὶ νόμισμα χρηστέον· ἰσοδύναμος γάρ ἐστι καὶ ἰσοστάσιος τῇ Ἰταλικῇ μνᾷ· στατήρων ἐστὶν κε, ἡ δὲ Ἰταλικὴ λίτρα στατήρων κδ· αἱ δὲ λοιπαὶ μναῖ διάφοροι.
[61] Ἡ λίτρα ποιεῖ οὐγγίας ιβ καὶ ἡ οὐγγία δραχμὰς η, ἡ δὲ δραχμὴ γραμμάτων ἐστὶ τριῶν, τὸ γράμμα ὀβολοὶ β. πάλιν τὸ γράμμα ψεμμῶν τριῶν, ὁ θέρμος κερατίων β, ὡς εἶναι τὴν λίτραν δραχμῶν Ϛ, αἳ ποιοῦσι κεράτια Ϛαψκη. γίνεται οὖν τὸ τάλαντον λιτρῶν ξβ Ϛ΄ ἐν νομίσματι· τὸ δὲ ξυλικὸν ἐν Ἀντιοχείᾳ τάλαντόν ἐστι λιτρῶν τοε.
[62] Διαιρεῖται δὲ ἐκ περιουσίας καὶ τὸ δηνάριον κατὰ Ῥωμαίους εἰς μέρη Ϛασνβ· ἔχει γὰρ μέρη ιβ, νούμμους δ, ἀσσάρια ιϚ· ὁ δὲ νοῦμμος οὐγγίαν ἔχει τῷ σταθμῷ. τὸ ἀσσάριον διαιρεῖται εἴς τε Ϛ΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ Ϛ΄ καὶ η΄ καὶ θ΄ καὶ ι΄ καὶ ια΄ καὶ ιβ΄ καὶ ιϚ΄ καὶ ιη΄ καὶ κδ΄ καὶ λϚ΄ καὶ μ΄ καὶ ν΄ καὶ οβ΄, τὰ δὲ μέρη ταῦτα ἰδίας ὀνομασίας ἔχει παρὰ τοῖς Ῥωμαίοις λογισταῖς.
[63] Ὁ ἀμφορεὺς παρ' ἐνίοις λέγεται μετρητής· ἔχει οὖν ἡμιαμφόρια δύο, ἃ καλοῦσί τινες κάδους, Ῥωμαῖοι δὲ οὔρνας· βρόχους δὲ ἔχει δ, χόας η, οὓς δὴ κογγία λέγουσι, κάβους δὲ ἡμεῖς. ὁ δὲ χοῦς χωρεῖ ξέστας Ϛ, ὡς τὸν ἀμφορέα εἶναι ξεστῶν μη. ὁ δὲ Ἀντιοχικὸς μετρητὴς τοῦ Ἰταλικοῦ ἐστι διπλάσιος καὶ Ϛ΄.
[64] Ὁ ξέστης διαιρεῖται εἰς κοτύλας β, ἡ κοτύλη εἰς ὀξύβαφα β, τὸ ὀξύβαφον εἰς κυάθους γ, ὁ κύαθος εἰς μύστρια δ, ἃ δὴ λίστρια ὀνομάζουσιν, ὁ μύστρος ἤτοι τὸ λίστριον εἰς κοχλιάρια δύο. ὁ ξέστης ἀναλύεται εἰς κοχλιάρια Ϛ, καὶ τὰ ἐλαιρὰ παραπλησίως, πλὴν ὅτι ἀπὸ τοῦ καλουμένου κεντιναρίου τὴν ἀρχὴν ἔχει. ἔστι δὲ ὁ μετρητὴς ἐλαιρὸς δυνατὰ ἔχων ιϚ, καὶ καλεῖται ὁ μο εκ ταῖς.
[65] Ὁ μόδιος ἔχει ἡμιέκτα δύο, τὸ ἡμίεκτον χοίνικας δ, ὁ χοῖνιξ ξέστας β, ὡς τὸν μόδιον εἶναι ξέστας ιϚ. καὶ τὰ λεπτὰ δὲ μέτρα τῶν ξηρῶν ὁμοίως τοῖς τῶν ὑγρῶν. ὁ Πτολεμαικὸς δὲ μέδιμνος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ Ἀττικοῦ καὶ συνέστηκεν ἐξ ἀρταβῶν μὲν τῶν παλαιῶν β· ἦν γὰρ ἡ ἀρτάβη μοδίων δ Ϛ΄, νῦν δὲ διὰ τὴν Ῥωμαικὴν χρῆσιν ἡ ἀρτάβη χρηματίζει γ γ΄.
[66] Ὁ κόρος ὁ Φοινικικὸς καλούμενος σάτων ἐστὶ λ, τὸ σάτον μοδίου τὸ Ϛ΄. ὁ χοῦς τὸ ἑξάξεστον μέτρον τὸ μὲν τοῦ οἴνου σταθμῷ ἐστιν θ, τὸ δὲ τοῦ μέλιτος ιε· καὶ πάσης ὕλης σταθμὸς διάφορος. ἡ οὐγγία τοῦ πεπέρεος κόκκους ἔχει υ, ἡ δὲ λίτρα ὑφ' ἓν Ϛε.
[67] Τὸ ἰούγερον ἔχει ἀκαίνας σ, γεϊκῶν ποδῶν Ϛβυ· μήκους γὰρ ἔχει ἀκαίνας κδ, διαιρεῖται δὲ εἰς κ μέρη ἀνὰ ιβ· γίνονται πόδες σμ· πλάτους δὲ ἔχει δώδεκα ἀκαίνας· γίνονται πόδες ρκ. ἐὰν δὲ τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος, γίνονται πόδες β Ϛηω. ἡ ἄκαινα πόδας ἔχει ιβ· γίνονται παλαισταὶ μη. ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ, δακτύλους ιϚ. ὁ πῆχυς ὁ εὐθυμετρικὸς ἔχει πόδα ἕνα Ϛ΄· ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει ὁμοίως πόδα α Ϛ΄, δακτύλους κδ.
ἐὰν τὸ πλάτος τοὺς κδ ἐπὶ τοὺς κδ, γίνονται δάκτυλοι φοϚ· τούτους ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ἀγελαῖοι δάκτυλοι Ϛγωκδ, ξέσται ὑγροὶ μη, ξηροὺς δὲ χωρεῖ μοδίους Ἰταλικοὺς λε· ἐπὶ λε· γίνονται Ϛασκε· καὶ ταῦτα πολυπλασίασον ἑνδεκάκις· γίνονται Ϛγυοε.
[68] Ἔστι δὲ ἡ λιπαρὰ γῆ ἐν σπόρου καὶ γεωμένων ἡ μελάγγεως γῆ ἡ παρὰ πᾶσιν ἐπαινουμένη, οἵα στέγει ὑετόν· ταύτῃ μετρεῖται ἰούγερα ρ γεϊκὸν ἓν τῆς μελαγγέου καὶ λιπαρᾶς· καὶ τῆς ποταμοχόου ταύτης μιᾶς ἑκατοστῆς ἡ γεωμετρία ἐν ἰσότητι μετρεῖ ἰούγερα ρ γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ ὑπογέου ἤτοι βαθυγέου μετρεῖ ἰούγερα ρκε γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ ἐρυθρᾶς ἤτοι κοκκίνου μετρεῖ ἰούγερα ρκε γεϊκὸν ἕν, τῆς δὲ παγάδος μετρεῖ ἰούγερα ρλγ γεϊκὸν ἕν, τὴν δὲ ὑπὸ ποταμοῦ ἐπιψαμμιζομένην μετρεῖ ἰούγερα ρη γεϊκὸν ἕν, τὴν δέ γε τραχεῖαν καὶ ἀμμώδη μετρεῖ ἰούγερα σν γεϊκὸν ἕν. ἄμπελον νεοκέντητον μετρεῖ ἰούγερα ρ γεϊκὸν ἕν· ἔρρουν ἔρρειθρον μετρεῖ ἰούγερα β γεϊκὸν ἕν· ἐννιτρόγεων μετρεῖ ἰούγερα ρ κεφαλὴ μία· χορτοκοπίου ἰούγερα ρκε κεφαλὴ μία. τὸ ἰούγερον ἔχει πήχεις ρλγ γ΄.
[24]
[1] Εὑρεῖν δύο χωρία τετράγωνα, ὅπως τὸ τοῦ πρώτου ἐμβαδὸν τοῦ τοῦ δευτέρου ἐμβαδοῦ ἔσται τριπλάσιον. ποιῶ οὕτως· τὰ γ κύβισον· γίνονται κζ· ταῦτα δίς· γίνονται νδ. νῦν ἆρον μονάδα α· λοιπὸν γίνονται νγ. ἔστω οὖν ἡ μὲν μία πλευρὰ ποδῶν νγ, ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ ποδῶν νδ. καὶ τοῦ ἄλλου χωρίου οὕτως· θὲς ὁμοῦ τὰ νγ καὶ τὰ νδ· γίνονται πόδες ρζ· ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ γ ... λοιπὸν γίνονται πόδες τιη. ἔστω οὖν ἡ τοῦ προτέρου πλευρὰ ποδῶν τιη, ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ ποδῶν γ· τὰ δὲ ἐμβαδὰ τοῦ ἑνὸς γίνεται ποδῶν Ϡνδ καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν Ϛβωξβ.
[2] Εὑρεῖν χωρίον χωρίου τῇ περιμέτρῳ ἴσον, τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ ἐμβαδοῦ τετραπλάσιον. ποιῶ οὕτως· τὰ δ κύβισον ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ξδ· ἆρον μονάδα α· λοιπὸν γίνονται πόδες ξγ· τοσούτου ἑκάστη τῶν περιμέτρων τῶν β παραλλήλων πλευρῶν. διαστεῖλαι οὖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· θὲς τὰ δ· ἆρον μονάδα α· λοιπὸν γ· ἡ μία οὖν πλευρὰ ποδῶν γ. ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ οὕτως· τῶν ξγ ἆρον τὰ γ· λοιπὸν μένουσι πόδες ξ. τοῦ δὲ ἑτέρου χωρίου ποίει οὕτως· τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ιϚ· ἀπὸ τούτων ἆρον μονάδα α· λοιπὸν γίνονται πόδες ιε· τοσούτων ἔστω ἡ πρώτη πλευρά, ποδῶν ιε. ἡ δὲ ἑτέρα πλευρὰ οὕτως· ἆρον τὰ ιε τῶν ξγ· λοιπὸν γίνονται πόδες μη· ἔστω ἡ ἄλλη πλευρὰ ποδῶν μη· τὸ δὲ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνὸς ποδῶν ψκ καὶ τοῦ ἄλλου ποδῶν ρπ.
[3] Χωρίον τετράγωνον ἔχον τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου ποδῶν ωϚ· διαχωρίσαι τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς περιμέτρου. ποιῶ οὕτως· ἔκθου καθολικῶς μονάδας δ· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες β. ταῦτα ποίησον ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες δ. σύνθες ἄρτι μετὰ τῶν ωϚ· ὁμοῦ γίνονται πόδες Ϡ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λ. καὶ ἀπὸ τῶν δ ὕφειλον τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες β· λοιπὸν γίνονται πόδες κη. τὸ οὖν ἐμβαδόν ἐστιν ποδῶν ψπδ, καὶ ἡ περίμετρος ἔστω ποδῶν ριβ· ὁμοῦ σύνθες ἄρτι τὰ πάντα· γίνονται πόδες ωϚ· τοσούτων ἔστω τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου, ποδῶν ωϚ.
[4] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν ν· διαχωρίσαι τὰς πλευρὰς ἀπ' ἀλλήλων. ποιῶ οὕτως κατὰ τὴν Πυθαγορικὴν μέθοδον· ἐπεί ἐστι τὸ παρὰ Πυθαγόρου πρῶτον τρίγωνον ὀρθογώνιον ηὑρημένον τὸ γ΄ δ΄ ε΄, ποίει κοινωνοὺς τοὺς γ· ὁ πρῶτος ποδῶν γ, ὁ δεύτερος ποδῶν δ, ὁ γ΄ ποδῶν ε, κοινὰ δὲ αὐτοῖς τὰ πάντα ἔστω ποδῶν ν. ἔστω οὖν τῷ μὲν πρώτῳ ποδῶν ιβ Ϛ΄, τῷ δὲ δευτέρῳ ποδῶν ιϚ , τῷ δὲ τρίτῳ ποδῶν κ Ϛ΄ γ΄· ὁμοῦ ἔστω τὰ πάντα ποδῶν ν, ὅ ἐστι περίμετρος τοῦ τριγώνου.
[5] Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ε· εὑρεῖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· σκέψαι τὰ ε ἐπί τινα ἀριθμὸν τετράγωνον ἔχοντα Ϛ, ἵνα πολυπλασιασθέντα τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν ποιήσῃ. πολυπλασιασθέντα δὲ ἐπὶ τὸν λϚ γίνονται πόδες ρπ, καὶ ἔσται τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδόν, οὗ ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν θ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν μ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν μα. καὶ τὰ ρπ μερίζω παρὰ τὸν ε, καὶ λϚ ἐστιν, μήκει δὲ ἕξ. λαβὲ τὸ Ϛ΄ τῶν πλευρῶν, τουτέστι τῶν θ· γίνεται ποὺς α Ϛ΄· καὶ τῶν μ τὸ Ϛ΄· γίνεται ποδῶν Ϛ ἡ βάσις· καὶ τῶν μα τὸ Ϛ΄· γίνεται ποδῶν Ϛ Ϛ΄ γ΄ ἡ ὑποτείνουσα. τὸ οὖν ἐμβαδὸν ποδῶν ε.
[6] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ιβ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν κ· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν Ϛ. ταῦτα μερίσαι εἰς ἄνδρας ιϚ ἑκάστῳ πόδας Ϛ ἐν ὀρθογωνίοις τριγώνοις. ποιῶ οὕτως· μέρισον τὸν Ϛ εἰς Ϛ· γίνονται πόδες ιϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν δ. ἄρτι λαμβάνω τῆς καθέτου τὸ δ΄· γίνονται πόδες γ· καὶ τῆς βάσεως τὸ δ΄· γίνονται πόδες δ· καὶ τῆς ὑποτεινούσης τὸ δ΄· γίνονται πόδες ε· καὶ ἔσται ιϚ τρίγωνα ἔχοντα τὴν μὲν κάθετον ποδῶν γ, τὴν δὲ βάσιν ποδῶν δ, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν ε, τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν Ϛ.
[7] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ιβ [τὸ ἐμβαδὸν Ϛ]· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. ποιῶ οὕτως· προστιθῶ τοῖς ιβ τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται πόδες δ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιϚ· τοσούτων ἔστω ἡ βάσις, ποδῶν ιϚ. πάλιν προστιθῶ τῆς βάσεως τὸ δ΄· γίνονται πόδες δ· ὁμοῦ γίνονται πόδες κ· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν κ. τὸ ἐμβαδὸν ἔστω ποδῶν Ϛ.
[8] Ἐὰν δὲ τριγώνου ὀρθογωνίου δοθείσης τῆς βάσεως ποδῶν κδ ζητοῦμεν τὴν κάθετον καὶ τὴν ὑποτείνουσαν, ποιῶ οὕτως· ὕφειλον τῆς βάσεως τὸ δ΄· γίνονται πόδες Ϛ· λοιπὸν μένουσι πόδες ιη· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν ιη. πάλιν πρόσθες τῆς βάσεως τὸ δ΄· γίνονται πόδες Ϛ· ὁμοῦ πρόσθες τῇ βάσει· γίνονται πόδες λ· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν λ. τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν σιϚ.
[9] ἐὰν δὲ θέλῃς ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης εὑρεῖν τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον, ποίει οὕτως· ἐάν ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν λ, ὕφειλον τὸ ε΄ μέρος τῶν λ· γίνονται Ϛ· λοιπὸν μένουσι πόδες κδ· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν κδ. πάλιν ἀπὸ τῶν κδ ποδῶν τῆς βάσεως ὕφειλον τὸ δ΄· γίνονται πόδες Ϛ· λοιπὸν μένουσι πόδες ιη· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν ιη. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν σιϚ.
[10] Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου ποδῶν σπ· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἀεὶ ζήτει τοὺς ἀπαρτίζοντας ἀριθμούς· ἀπαρτίζει δὲ τὸν σπ ὁ δὶς τὸν ρμ, ὁ δ΄ τὸν ο, ὁ ε΄ τὸν νϚ, ὁ ζ΄ τὸν μ, ὁ η΄ τὸν λε, ὁ ι΄ τὸν κη, ὁ ιδ΄ τὸν κ. ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ η καὶ λε ποιήσουσι τὸ δοθὲν ἐπίταγμα. τῶν σπ τὸ η΄· γίνονται πόδες λε. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν η· λοιπὸν μένουσιν Ϛ πόδες. τὰ οὖν λε καὶ τὰ Ϛ ὁμοῦ γίνονται πόδες μα. ταῦτα ποίει ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες Ϛαχπα. τὰ λε ἐπὶ τὰ Ϛ· γίνονται πόδες σι· ταῦτα ποίει ἀεὶ ἐπὶ τὰ η· γίνονται πόδες Ϛαχπ. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν Ϛαχπα· λοιπὸν μένει α· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται α. ἄρτι θὲς τὰ μα καὶ ἆρον μονάδα α· λοιπὸν μ· ὧν Ϛ΄ γίνεται κ· τοῦτό ἐστιν ἡ κάθετος, ποδῶν κ. καὶ θὲς πάλιν τὰ μα καὶ πρόσθες α· γίνονται πόδες μβ· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες κα· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν κα. καὶ θὲς τὰ λε καὶ ἆρον τὰ Ϛ· λοιπὸν μένουσι πόδες κθ. ἄρτι θὲς τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες σι· καὶ αἱ τρεῖς πλευραὶ περιμετρούμεναι ἔχουσι πόδας ο· ὁμοῦ σύνθες μετὰ τοῦ ἐμβαδοῦ· γίνονται πόδες σπ.
[11] Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου ποδῶν σο· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἀεὶ ζήτει τοὺς ἀπαρτίζοντας ἀριθμούς, ὡς καὶ ἐπὶ τοῦ πρώτου· ἀπαρτίζει μονάδας τὸν σο ὁ δὶς τὸν ρλε, ὁ γ΄ τὸν , ὁ ε΄ τὸν νδ, ὁ Ϛ΄ τὸν με, ὁ θ΄ τὸν λ, ὁ ι΄ τὸν κζ. ἐσκεψάμην, ὅτι Ϛ καὶ με ποιήσει τὸ ἐπιταχθέν. τὸ Ϛ΄ τῶν σο· γίνονται με πόδες. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν Ϛ· λοιπὸν δ. τὰ με καὶ τὰ δ ὁμοῦ σύνθες· γίνονται μθ. ταῦτα ποιήσομεν ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες Ϛβυα· καὶ τὰ με ποίησον ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες ρπ. ταῦτα διὰ παντὸς ποίει ἐπὶ τὰ η· γίνονται πόδες Ϛαυμ. ἆρον αὐτὰ ἀπὸ τῶν Ϛβυα· λοιπὸν μένουσιν Ϡξα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λα. ἄρτι θὲς τὰ μθ καὶ ἆρον τὰ λα· γίνονται πόδες ιη· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες θ· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν θ. καὶ θὲς τὰ μθ καὶ τὰ λα· ὁμοῦ π γίνονται πόδες. ὧν Ϛ΄ γίνεται μ· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν μ. καὶ θὲς τὰ με καὶ ἆρον τὰ δ· λοιπὸν μένουσι πόδες μα· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν μα. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν ρπ. ἄρτι σύνθες ὁμοῦ τὰς γ πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες σο.
[12] Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου ποδῶν ρ· ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σκέπτου τὸν ἀπαρτίζοντα ἀριθμόν· ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ ε καὶ ὁ κ τὸ ἐπιταχθὲν ποιήσουσιν. τὸ ε΄ τῶν ρ· γίνονται πόδες κ. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν ε· λοιπὸν μένουσι γ. τὰ οὖν γ καὶ τὰ κ σύνθες· γίνονται πόδες κγ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται φκθ. καὶ τὰ κ ποίησον ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ξ· ταῦτα διὰ παντὸς ἐπὶ τὰ η· γίνονται πόδες υπ. ἆρον ἀπὸ τῶν φκθ· λοιπὸν μένουσι πόδες μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ. λοιπὸν μένουσι ιϚ. ὧν Ϛ΄ γίνεται η· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν η. θὲς πάλιν τὰ κγ καὶ πρόσθες τὰ ζ· ὁμοῦ γίνονται πόδες λ. ὧν Ϛ΄ γίνεται ιε· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν ιε. καὶ θὲς τὰ κ καὶ ἆρον τὰ γ· λοιπὸν μένουσι πόδες ιζ· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν ιζ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν ξ. ὁμοῦ σύνθες τὰς γ πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες ρ.
[13] Τριγώνου ὀρθογωνίου τὸ ἐμβαδὸν μετὰ τῆς περιμέτρου ποδῶν · ἀποδιαστεῖλαι τὰς πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ἐσκεψάμην, ὅτι ὁ ε καὶ ὁ ιη ποιήσει τὸ ἐπιταχθέν, οὕτως· τὸ ε΄ τῶν · γίνονται πόδες ιη. διὰ παντὸς λάμβανε δυάδα τῶν ε· μένουσι γ· σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ γ· γίνονται πόδες κα. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες νδ· ταῦτα πάντοτε ποίει ἐπὶ τὰ η· γίνονται πόδες υλβ. ταῦτα ἆρον ἀπὸ τῶν υμα· λοιπὸν θ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν γ. θὲς τὰ κα καὶ ἆρον τὰ γ· λοιπὸν ιη· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες θ· ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν θ. καὶ θὲς πάλιν τὰ κα καὶ πρόσθες τὰ γ· ὁμοῦ γίνονται πόδες κδ· ὧν Ϛ΄ γίνεται ιβ· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν ιβ. καὶ θὲς πάλιν τὰ ιη καὶ ἆρον τὰ γ· λοιπὸν ιε· ἔστω ἡ ὑποτείνουσα ποδῶν ιε. τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν νδ. ὁμοῦ σύνθες τὰς γ πλευρὰς καὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες .
[14] Ἐν τῷ δοθέντι τριγώνῳ εὑρεῖν τὸ ἐγγραφόμενον τετράγωνον. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὴν κάθετον ποδῶν κα καὶ τὴν βάσιν ποδῶν κη καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ποδῶν λε, καὶ ἐγγεγράφθω τετράγωνον, εὑρεῖν αὐτοῦ τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον πολυπλασιάζω, τὰ κα ἐπὶ τὰ κη· γίνονται πόδες φπη· καὶ σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· ὁμοῦ γίνονται πόδες μθ. ἄρτι μερίζω τῶν φπη τὸ μθ΄· γίνονται πόδες ιβ· ἔσται ἑκάστη πλευρὰ ποδῶν ιβ.
[15] Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ρ· τούτου τὰς πλευρὰς εὑρήσομεν. ποιῶ οὕτως· λαμβάνω τῶν ρ πλευρὰν τετραγωνικὴν ποδῶν ι· ἔστω ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου.
[16] Ἔστω ἑτερόμηκες καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν η, τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν μ· τούτου πλευρὰν εὕρομεν. λαμβάνω τῶν μ τὸ η΄· γίνονται πόδες ε· ἔσται τὸ πλευρὸν ποδῶν ε.
[17] Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν δ, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. εὑρεθήσεται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου, ὅση ἐστὶν ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου.
[18] Ἔστω τετράγωνον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν δ, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὰ δ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ιϚ. ταῦτα δίς· γίνονται λβ. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πόδες ε Ϛ΄ ιδ΄· τοσούτου ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[19] Ἔστω τετράγωνον ἑτερόμηκες καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν δ, τὴν δὲ πλευρὰν ποδῶν γ, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. καὶ εὑρεθήσεται τοσούτου, ὅσου τοῦ ἑτερομήκους ἐστὶν ἡ πλευρά, ποδῶν γ.
[20] Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν γ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν δ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ε· τοῦ ἐγγραφομένου τετραγώνου εἰπεῖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· τὴν πρὸς ὀρθὰς πολυπλασιάζω ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται πόδες ιβ· καὶ συντιθῶ τὰς πλευράς, τὰ γ καὶ τὰ δ· γίνονται ζ· καὶ λαμβάνω τῶν ιβ τὸ ζ΄· γίνεται α Ϛ΄ ζ΄ ιδ΄.
[21] Τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ κάθετος ποδῶν ιε, ἡ δὲ βάσις ποδῶν κ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν κε, καὶ μετὰ β πόδας ἄλλο τρίγωνον περιγεγράφθω· ζητῶ αὐτοῦ τὰς πλευράς. ἔστι δὲ ἡ μὲν κάθετος αὐτοῦ ποδῶν κα , ἡ δὲ βάσις ποδῶν κη Ϛ΄ δ΄ η΄, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν λϚ θ΄. προσλαμβάνουσιν αἱ ἔξω τὰς αὐτὰς ψήφους καὶ γ΄ θ΄ αὐτῶν.
[22] Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΒΔ. ἡ μὲν ΑΔ ἐπὶ τὴν ΓΔ πολυπλασιαζομένη ποιεῖ, ὅσον ἡ ΒΔ ἐφ' ἑαυτήν, ἡ δὲ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΓΑ πολυπλασιαζομένη τοσοῦτον ποιεῖ, ὅσον ἡ ΑΒ ἐφ' ἑαυτήν.
[23] Τριγώνου ὀρθογωνίου ἡ κάθετος ποδῶν κα, ἡ δὲ τοῦ ἐγγραφομένου τετραγώνου πλευρὰ ποδῶν ιβ· εὑρεῖν τὰς πλευράς. ποιῶ οὕτως· αἴρω ἀπὸ τῶν κα τὰ ιβ· λοιπὸν μένουσι πόδες θ. καὶ ποιῶ τὰ κα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται πόδες σνβ. ἄρτι μερίζω παρὰ τὰ θ· γίνονται πόδες κη· ἔστω ἡ βάσις, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἔστω ποδῶν λε.
[24] Τρίγωνον ἰσόπλευρον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν ποδῶν λ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ τετράγωνον· εὑρεῖν αὐτοῦ τὰς πλευρὰς οὕτως. ζητῶ τοῦ τριγώνου τὴν κάθετον· γίνεται ποδῶν κϚ. μῖξον μετὰ τῶν λ ποδῶν τῆς πλευρᾶς· γίνονται πόδες νϚ. καὶ ποιῶ τὴν πλευρὰν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες ψπ. ἄρτι μερίζω παρὰ τὰ νϚ· γίνονται πόδες ιγ ζ΄ ιδ΄ κα΄· τοσούτων ἔσται τοῦ τετραγώνου ἡ πλευρά.
[25] Ὁμοίως ἐπὶ παντὸς τριγώνου ἔχοντος ἐγγραφόμενον τετράγωνον ἰσχύει ἡ αὐτὴ μέθοδος· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ μῖξον βάσιν καὶ κάθετον, καὶ μέρισον τὸ ἐμβαδόν· καὶ ἕξεις τὰς πλευρὰς τοσούτου.
[26] Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον καὶ ἐχέτω τὴν κάθετον ποδῶν Ϛ καὶ τὴν βάσιν ποδῶν η, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν ι, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὴν κάθετον καὶ τὴν βάσιν· γίνονται πόδες ιδ. αἴρω ἀπὸ τούτων τὴν ὑποτείνουσαν· λοιπὸν μένουσι πόδες δ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν δ.
[27] Ἄλλως δὲ πάλιν εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ ἐγγραφομένου κύκλου. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν κδ· ταῦτα ποιῶ τετράκις· γίνονται πόδες Ϛ. ἄρτι σύνθες τὰς γ πλευρὰς τοῦ τριγώνου· ὁμοῦ γίνονται πόδες κδ. ἄρτι μερίζω τῶν Ϛ ποδῶν τὸ κδ΄· γίνονται πόδες δ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν δ.
[28] Ἐὰν δὲ τρίγωνον ὀρθογώνιον ᾖ, καὶ ἐμπεριγεγράφθω κύκλος, πόσου ἕξει τὴν διάμετρον; τοσούτου, ὅσου ἡ ὑποτείνουσα τοῦ τριγώνου.
[29] Τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὰ σκέλη ἀνὰ ποδῶν ιε καὶ τὴν βάσιν ποδῶν ιη, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν ρη· ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες υλβ. ἄρτι σύνθες τὰς γ πλευρὰς τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες μη. ἄρτι μερίζω τὰ υλβ παρὰ τὸν μη· γίνονται πόδες θ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν θ.
[30] Τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὰ σκέλη ἀνὰ ποδῶν ιε καὶ τὴν βάσιν ποδῶν ιη, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ πρῶτον σκέλος ἐφ' ἑαυτό, τουτέστι τὰ ιε ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται πόδες σκε. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου τοσούτου ἐστί, ποδῶν ιβ. ἄρτι μερίζω τὸ ιβ΄ τῶν σκε· γίνονται πόδες ιη Ϛ΄ δ΄· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου τοσούτου.
[31] Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν λ, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδόν ἐστι ποδῶν τ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες Ϛαφξ. ἄρτι σύνθες τὰς γ πλευράς· γίνονται πόδες . ἄρτι μερίζω τῶν Ϛαφξ τὸ ΄· γίνονται πόδες ιζ γ΄· τοσούτου ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[32] Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν λ, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται Ϡ. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου ἔσται ποδῶν κϚ. ἄρτι μερίζω τῶν Ϡ τὸ κϚ΄· γίνονται πόδες λδ Ϛ΄ η΄· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου τοσούτων.
[33] Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν ιγ καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν ιε καὶ ἡ βάσις ποδῶν ιδ, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· φανερόν, ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν πδ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες τλϚ. ἄρτι σύνθες τὰς γ πλευρὰς τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες μβ. νῦν μερίζω τῶν τλϚ τὸ μβ΄· γίνονται πόδες η· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν η.
[34] Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν ιγ καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν ιε καὶ ἡ βάσις ποδῶν ιδ, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται πόδες ρε. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν ιβ. ἄρτι μερίζω τῶν ρε τὸ ιβ΄· γίνονται πόδες ιϚ δ΄· τοσούτων ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[35] Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὴν μίαν πλευρὰν ποδῶν ι καὶ τὴν βάσιν ποδῶν θ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ποδῶν ιζ, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· φανερόν, ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν λϚ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες ρμδ· καὶ σύνθες τὰς γ πλευρὰς τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες λϚ. ἄρτι μερίζω τῶν ρμδ τὸ λϚ΄· γίνονται πόδες δ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐγγραφομένου κύκλου ποδῶν δ.
[36] Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν ι καὶ τὴν βάσιν ποδῶν θ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ποδῶν ιζ, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ ι ἐπὶ τὰ ιζ· γίνονται πόδες ρο. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετος τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν η. ἄρτι μερίζω τὸ η΄ τῶν ρο· γίνονται πόδες κα δ΄· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν κα δ΄.
[37] Τρίγωνον σκαληνόν, οὗ τὸ ἔλαττον σκέλος ποδῶν ιγ, τὸ δὲ μεῖζον ποδῶν ιε, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιδ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν γ πλευρῶν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποίει οὕτως· ζήτει τοῦ σκαληνοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· καί ἐστιν, ὡς ἐμάθομεν, ποδῶν πδ. ταῦτα καθολικῶς ποιῶ δ· γίνονται πόδες τλϚ. καὶ σύνθες τὴν περίμετρον τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες μβ. ἄρτι μερίζω τὰ τλϚ παρὰ τὸν μβ· γίνονται πόδες η· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[38] Ἔστω τρίγωνον σκαληνόν, οὗ τὸ ἔλαττον σκέλος ποδῶν ιγ καὶ ἡ βάσις ποδῶν ιδ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ιε, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται πόδες ρε. φανερόν, ὅτι ἡ κάθετός ἐστιν τοῦ τριγώνου ποδῶν ιβ. ἄρτι μερίζω τὸ ιβ΄ τῶν ρε· γίνονται πόδες ιϚ δ΄· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.
[39] Δοθέντος κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ζητεῖς τὸ ἐξώτερον τετράγωνον τί φέρει. ποιῶ οὕτως· τὰ ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. θέλεις εὑρεῖν καὶ τοῦ ἐγγραφομένου κύκλου τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ· ὧν Ϛ΄ γίνεται πόδες κδ Ϛ΄. πρόσθες νῦν τῶν μθ δ΄ καὶ τὸ κη΄· γίνονται πόδες λη Ϛ΄· τοσούτου ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐγγραφομένου κύκλου [ποδῶν λη Ϛ΄] εἰς τὸ δοθέν μοι τετράγωνον.
[40]
Ἄλλως δὲ πάλιν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ἀπὸ τετραγώνου. ποιῶ οὕτως· τὰ ζ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται μθ. ὕφειλον τῶν μθ τὸ ζ΄ καὶ τὸ ιδ΄· γίνονται ι Ϛ΄· λοιπὸν μένει λη Ϛ΄· τοσούτου ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. εἰ δὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου ποδῶν λη Ϛ΄, θέλεις εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου, ποίει οὕτως· τῶν λη Ϛ΄ τὸ δ΄ καὶ τὸ μδ΄· γίνονται πόδες ι Ϛ΄· ταῦτα σύνθες μετὰ τῶν λη Ϛ΄· γίνονται μθ· ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου ποδῶν μθ. εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου ἀπὸ τῶν μθ, ποιεῖς τὰ μθ, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου καὶ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου ποδῶν ζ.
[41] Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν κη καὶ ἡ περίμετρος ποδῶν πη, τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποδῶν χιϚ [τοῦ κύκλου τὴν μέθοδον ἐν τοῖς δηλουμένοις]· ἐξ αὐτοῦ θέλεις διελεῖν ὀκτάεδρον. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες ιδ. καὶ τὰ ιδ πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ ια· γίνονται πόδες ρνδ. τούτων τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες οζ. ταῦτα ὀκτάκις· γίνονται πόδες χιϚ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.
[42] Μέθοδος, ἐὰν θέλῃς ἀπὸ ἐμβαδοῦ κύκλου εὑρεῖν περίμετρον. ποίει οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὸ ἐμβαδὸν πόδας ρνδ, ποιεῖς τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ τὰ πη· γίνονται πόδες αϚγφνβ· ὧν τὸ ζ΄· γίνονται πόδες ϚαϠλϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν μδ· ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν μδ.
[43] Εἰ δὲ θέλεις μῖξαι τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον καὶ θέλεις ἀποδιαστεῖλαι τὴν διάμετρον ἀπὸ τῆς περιμέτρου, ποιεῖς οὕτως· ἐὰν ἔχωσι τὰ ἀμφότερα πόδας νη, ποιεῖς πάντοτε τὰ νη ἐπὶ τὸν ζ· γίνονται πόδες υϚ. ἄρτι μερίζω· ὧν κθ΄· γίνονται πόδες ιδ· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ περίμετρος ποδῶν μδ. ὁμοῦ γίνονται πόδες νη· τοσούτων ἔστω ὁ κύκλος.
[44] Εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέτρου, ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος πόδας ιδ, ποιεῖς πάντοτε τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται πόδες τη. ἄρτι μερίζω· ὧν ζ΄· γίνονται πόδες μδ· ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν μδ.
[45] Ἄλλως δὲ πάλιν· ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος πόδας ιδ, πάντοτε ποίει τὴν διάμετρον τριπλασίονα· γίνονται μβ· καὶ τὸ ζ΄ τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες β. ταῦτα πρόσθες τοῖς μβ· ὁμοῦ γίνονται μδ· ἔστω ἡ περίμετρος ποδῶν μδ.
[46] Ἐὰν μίξω τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου καὶ μίξας εὕρω τὰς ἀμφοτέρας φωνὰς ποδῶν ἀριθμὸν σιβ, ἀποδιαστήσομεν ἕκαστον ἀριθμὸν ἀπ' ἀλλήλων. ποιῶ οὕτως· τὰ σιβ πολυπλασιάζω ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ καθολικῶς ἐπὶ τὰ ρνδ· γίνονται γϚβχμη. τούτοις καθολικῶς προστίθημι ωμα· ὁμοῦ γίνονται γϚγυπθ. τούτων πάντοτε ποίει πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πόδες ρπγ· καὶ ἀπὸ τούτων ὕφειλον κθ καθολικῶς· λοιπὸν ρνδ· ὧν ια΄ γίνεται πόδες ιδ· τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ διάμετρος, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν μδ. φανερὸν δέ, ὅτι τὸ ἐμβαδόν ἐστι ποδῶν ρνδ. ὁμοῦ σύνθες τὰ πάντα· γίνονται πόδες σιβ.
[47] Ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἐπὶ τῶν ζ εὑρεῖν τὴν αὐτὴν μέθοδον, ποίει οὕτως· μίξας τὴν διάμετρον καὶ τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδὸν ὁμοῦ γίνονται πόδες ξζ Ϛ΄· ἀποδιαστήσομεν ἕκαστον ἀριθμὸν ἀπ' ἀλλήλων. ποιῶ οὕτως· τὰ ξζ Ϛ΄ πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ ρνδ καθολικῶς· ὁμοῦ γίνονται πόδες ατε. τούτοις πάντοτε προστιθῶ ωμα· ὁμοῦ γίνονται πόδες αϚασλϚ. τούτων ποιεῖς πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πόδες ρϚ· ἀπὸ τούτων ὕφειλον καθολικῶς κθ· λοιπὸν μένουσιν οζ· ὧν τὸ ια΄· γίνονται πόδες ζ· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· τὸ δὲ ἐμβαδὸν φανερόν ἐστιν ὅτι ποδῶν λη Ϛ΄. ὁμοῦ τὰ ἀμφότερα μίξας εὑρήσεις πόδας ξζ Ϛ΄.
[48] Κύκλου ἡ διάμετρος ποδῶν κε. ἔτεμον βάσιν ποδῶν κδ· ζητῶ τὰς καθέτους. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν κε τὸ Ϛ΄· γίνονται ιβ Ϛ΄· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ρνϚ δ΄. ὁμοίως καὶ τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες ιβ· ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τῶν ρνϚ δ΄· λοιπὸν ιβ δ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν γ Ϛ΄. θὲς τὰ ιβ Ϛ΄ καὶ τὰ γ Ϛ΄· γίνονται ὁμοῦ ιϚ· ἔσται ἡ μείζων κάθετος ποδῶν ιϚ. καὶ ἀπὸ τῶν ιβ Ϛ΄ ἆρον τὰ γ Ϛ΄· λοιπὸν θ· ἡ ἐλάττων κάθετος ἔσται ποδῶν θ.
[49] Κύκλου ἡ διάμετρος ποδῶν κε. ἔτεμον εὐθεῖαν ποδῶν ιϚ· ζητῶ τὴν βάσιν. ποιῶ οὕτως· τὴν εὐθεῖαν ἐφ' ἑαυτήν· γίνονται πόδες σνϚ· καὶ τὰ θ τὰ ὑπολειπόμενα τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πα· σύνθες ὁμοῦ· γίνονται τλζ. καὶ τὰ κε τῆς διαμέτρου ἐφ' ἑαυτά· γίνονται χκε. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ τλζ· λοιπὸν σπη. ταῦτα δίς· γίνονται φοϚ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν κδ· ἔστω ἡ βάσις ποδῶν κδ.
[50] Ἄλλως δὲ πάλιν· τὴν εὐθεῖαν ἐπὶ τὴν διάμετρον, τουτέστι τὰ ιϚ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ ιϚ ἐφ' ἑαυτά· γίνονται σνϚ· λοιπὸν ρμδ. ταῦτα τετράκις· γίνονται φοϚ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ποδῶν κδ· ἡ [δὲ] βάσις ποδῶν κδ.
[51] Τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ἤτοι βάσις ποδῶν ιϚ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ιϚ. ποίει τῆς βάσεως τὸ Ϛ΄· γίνονται πόδες η. ταῦτα ἐφ' ἑαυτά· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὴν κάθετον· γίνονται δ· ἔστω ἡ λοιπὴ κάθετος τοῦ κύκλου τῆς διαμέτρου τῶν κ ποδῶν δ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς κύκλου ποδῶν τιδ δ΄ κη΄. καὶ πάλιν μετροῦμεν τμῆμα ἔλαττον ἡμικυκλίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιϚ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· καί ἐστι ποδῶν μδ Ϛ΄ ιδ΄. λοιπὸν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος τμήματος ποδῶν σξθ Ϛ΄ κη΄.